삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 15번

CLP-1 · 2.8절 · 15번우리말 번역

$x=\dfrac{\pi}{2}$ 에서 $y=\cos(x)+2x$ 의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the equation of the line tangent to the graph of $y=\cos(x)+2x$ at $x=\dfrac{\pi}{2}$ .

정답·풀이 보기

$\cos(x)+2x$ 의 도함수를 구하면 $-\sin(x)+2$ 이고, $x=\frac{\pi}{2}$ 에서의 미분계수는 $-1+2=1$ 이다. 또 $\cos(\pi/2)+2(\pi/2)=0+\pi$ 이므로 접선의 방정식은

$\begin{aligned} y - \pi = 1\cdot (x-\pi/2). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We compute the derivative of $\cos(x)+2x$ as being $-\sin(x)+2$ , which evaluated at $x=\frac{\pi}{2}$ yields $-1+2=1$ . Since we also compute $\cos(\pi/2)+2(\pi/2)=0+\pi$ , then the equation of the tangent line is

$\begin{aligned} y - \pi = 1\cdot (x-\pi/2). \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 14번우리말 번역

다음 함수

$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \cos(x) & x\le 0\\ ax + b & x> 0\end{array} \right.$ 가 모든 점에서 미분가능하도록 하는 상수 $a$ 와 $b$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f$ 가 $x=0$ 에서 미분가능하려면 $x=0$ 에서 연속이기도 해야 한다. 따라서 $\lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^+}f(x) =f(0)\qquad\text{또는}\qquad \lim_{x\to 0^-}\cos(x) = \lim_{x\to 0^+}(ax+b) =1$ 이고, 즉 $b=1$ 이다. $f$ 가 $x=0$ 에서 미분가능하려면 극한 $\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$ 가 존재해야 한다. 이는 두 한쪽 극한

$\begin{aligned} \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} &=\lim_{h\to 0^-}\frac{\cos(h)-\cos(0)}{h} \\ \text{그리고} \\ \lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} &=\lim_{h\to 0^+}\frac{(ah+b)-\cos(0)}{h} =a\qquad\text{$b=1$이므로} \\ \text{가 존재하고 서로 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다. $\cos(x)$ 는 $x=0$ 에서 미분가능하므로} \\ \lim_{h\to 0^-}\frac{\cos(h)-\cos(0)}{h} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos(x)\bigg|_{x=0} = -\sin(x)\Big|_{x=0}=0 \end{aligned}$

따라서 $a=0$ , $b=1$ 이어야 한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석보통자동 분류