삼각함수의 미분 연습문제 — CLP-1 · 2.8절 · 17번

CLP-1 · 2.8절 · 17번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to \pi/3}\left( \dfrac{\cos(x)-1/2}{x-\pi/3}\right)$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle \lim_{x\to \pi/3}\left( \dfrac{\cos(x)-1/2}{x-\pi/3}\right).$

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이 극한은 함수 $f(x)=\cos x$ 의 $x=\pi/3$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이는 $f(x)=\cos x$ 일 때 $a=\pi/3$ 에서의 미분계수의 정의를 이용하면 알 수 있다:

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos x\}\right|_{\pi/3} &= \lim_{x\to\pi/3}\frac{\cos(x)-\cos(\pi/3)}{x-\pi/3}\\ &=\lim_{x\to\pi/3} \frac{\cos(x)-1/2}{x-\pi/3} \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수가 $-\sin x$ 이므로, $x=\pi/3$ 에서의 값은 정확히 $-\sin(\pi/3)=-\sqrt{3}/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This limit represents the derivative computed at $x=\pi/3$ of the function $f(x)=\cos x$ . To see this, simply use the definition of the derivative at $a=\pi/3$ with $f(x)=\cos x$ :

Since the derivative of $f(x)$ is $-\sin x$ , then its value at $x=\pi/3$ is exactly $-\sin(\pi/3)=-\sqrt{3}/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.8절 · 16번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to 2015}\left( \dfrac{\cos(x)-\cos(2015)}{x-2015}\right)$ 의 값을 구하세요.

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다 풀었으면 정답 확인

이 극한은 함수 $f(x)=\cos(x)$ 의 $x=2015$ 에서의 미분계수를 나타낸다. 이를 확인하려면 $a=2015$ , $f(x)=\cos x$ 로 하여 미분계수의 정의를 그대로 사용하면 된다.

$\begin{aligned} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\right|_{a} &= \lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos x\}\right|_{2015} &= \lim_{x\to2015}\frac{\cos(x)-\cos(2015)}{x-2015} \end{aligned}$

$f(x)$ 의 도함수는 $-\sin(x)$ 이므로, $x=2015$ 에서의 값은 정확히 $-\sin(2015)$ 이다.

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