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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.9절 · 18번우리말 번역

y=e4xtan⁡xy=e^{4x}\tan x 를 미분하세요. 답을 간단히 할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Differentiate y=e4xtan⁡xy=e^{4x}\tan x. You do not need to simplify your answer.

정답·풀이 보기

곱의 미분법을 이용하면,

y′=ddx{e4x}tan⁡x+e4xsec⁡2x그리고 연쇄 법칙을 이용하면:=e4x⋅ddx{4x}⋅tan⁡x+e4xsec⁡2x=4e4xtan⁡x+e4xsec⁡2x\begin{aligned} y'&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{4x}\}\tan x+e^{4x}\sec^2 x \\ \text{그리고 연쇄 법칙을 이용하면:} \\ &=e^{ 4x}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 4x\}\cdot\tan x+e^{4x}\sec^2 x\\ &=4e^{4x}\tan x+e^{4x}\sec^2 x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Using the Product rule,

y′=ddx{e4x}tan⁡x+e4xsec⁡2xand the chain rule:=e4x⋅ddx{4x}⋅tan⁡x+e4xsec⁡2x=4e4xtan⁡x+e4xsec⁡2x\begin{aligned} y'&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{4x}\}\tan x+e^{4x}\sec^2 x \\ \text{and the chain rule:} \\ &=e^{ 4x}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 4x\}\cdot\tan x+e^{4x}\sec^2 x\\ &=4e^{4x}\tan x+e^{4x}\sec^2 x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 6번우리말 번역

f(x)=x2+1x2−1f(x)=\sqrt{\dfrac{x^2+1}{x^2-1}} 의 도함수를 구하세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

연쇄 법칙을 이용하면:

ddx{x2+1x2−1}=12x2+1x2−1⋅ddx{x2+1x2−1}=12x2−1x2+1⋅ddx{x2+1x2−1}이제 몫의 미분법을 이용하면:=12x2−1x2+1⋅((x2−1)(2x)−(x2+1)2x(x2−1)2)=12x2−1x2+1⋅(−4x(x2−1)2)=x2−1x2+1⋅(−2x(x2−1)2)=−2x(x2−1)x4−1\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2-1}}\right\}&=\frac{1}{2\sqrt{ \frac{x^2+1}{x^2-1}}}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{x^2+1}{x^2-1}\right\}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{x^2+1}{x^2-1}\right\} \\ \text{이제 몫의 미분법을 이용하면:} \\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\cdot\left(\frac{(x^2-1)(2x)-(x^2+1)2x}{(x^2-1)^2}\right)\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\cdot\left(\frac{-4x}{(x^2-1)^2}\right)\\ &=\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2+1}}\cdot\left(\frac{-2x}{(x^2-1)^2}\right)\\ &=\frac{-2x}{({x^2-1})\sqrt{x^4-1}} \end{aligned}

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