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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 2.9절 · 20번우리말 번역

esin⁡2(x)e^{\sin^2(x)} 을 미분하세요.

영어 원문 보기

Differentiate esin⁡2(x)e^{\sin^2(x)}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 두 번 적용해야 한다.

ddx{esin⁡2(x)}=esin⁡2(x)⋅ddx{sin⁡2(x)}=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅ddxsin⁡(x)=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅cos⁡(x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ e^{\sin^2(x)} \right\} &= e^{\sin^2(x)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sin^2(x)\right\}\\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin(x) \\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \cos(x) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

This requires us to apply the chain rule twice.

ddx{esin⁡2(x)}=esin⁡2(x)⋅ddx{sin⁡2(x)}=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅ddxsin⁡(x)=esin⁡2(x)(2sin⁡(x))⋅cos⁡(x)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ e^{\sin^2(x)} \right\} &= e^{\sin^2(x)} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left\{ \sin^2(x)\right\}\\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin(x) \\ &= e^{\sin^2(x)} (2\sin(x)) \cdot \cos(x) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 23번우리말 번역

y=cos⁡(x2+x2+1)y=\cos\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big) 의 도함수를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

먼저 연쇄 법칙을 적용한다.

y′=−sin⁡(x2+x2+1)⋅ddx{x2+x2+1}=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+ddx{x2+1})연쇄 법칙을 한 번 더 써야 하므로:=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+12x2+1⋅ddx{x2+1})=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+2x2x2+1)\begin{aligned} y'&=-\sin\big( x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^2+1}\right\}\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^2+1}\right\}\right) \\ \text{연쇄 법칙을 한 번 더 써야 하므로:} \\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{1}{2\sqrt{ x^2+1}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+1\right\}\right)\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) \end{aligned}

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# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류

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