합성함수의 미분법 연습문제 — CLP-1 · 2.9절 · 33번

CLP-1 · 2.9절 · 33번우리말 번역

$\sin (2x) = 2\sin x \cos x$ 임을 알고 있다. 이로부터 미분을 이용하여 유도할 수 있는 다른 삼각함수 항등식은 무엇입니까?

영어 원문 보기

We know that $\sin (2x) = 2\sin x \cos x$ . What other trig identity can you derive from this, using differentiation?

정답·풀이 보기

$\sin 2x$ 와 $2\sin x \cos x$ 는 같은 함수이므로 도함수도 같다.

$\begin{aligned} \sin 2x &= 2\sin x \cos x\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin 2x\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\sin x \cos x\}\\ 2\cos 2x &=2[\cos^2x-\sin^2x]\\ \cos 2x &=\cos^2x-\sin^2 x \end{aligned}$

따라서 또 다른 흔한 삼각함수 항등식인 $\cos 2x =\cos^2x-\sin^2 x$ 를 얻는다.

참고: 이 등식의 양변을 미분하면 처음의 항등식이 다시 나온다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $\sin 2x$ and $2\sin x \cos x$ are the same function, they have the same derivative.

We conclude $\cos 2x =\cos^2x-\sin^2 x$ , which is another common trig identity.

Remark: if we differentiate both sides of this equation, we get the original identity back.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 2.9절 · 31번우리말 번역

평면 위의 입자가 시각 $t=-\pi/2$ 부터 시각 $t=\pi/2$ 까지 직교좌표평면을 따라 움직인다. 시각 $t$ 에서 입자의 $x$ 좌표는 $x=\cos t$ 이고 $y$ 좌표는 $y=\sin t$ 이므로, 입자는 평면 위에 곡선을 그린다. 이 곡선의 접선의 기울기가 $-1$ 이 되는 때는 언제입니까?

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시각 $t$ 에서 입자는 점 $\big(x(t),y(t)\big)$ 에 있고, $x(t)=\cos t$ , $y(t)=\sin t$ 이다. 시간이 지나면서 입자는 곡선을 그리는데, 그 곡선을 $y=f(x)$ 라 하자. 그러면 $y(t) = f\big(x(t)\big)$ 이므로 점 $\big(x(t),y(t)\big)$ 에서 곡선의 기울기는 $f'\big(x(t)\big)$ 이다. 따라서 $f'\big(x(t)\big)=-1$ 을 만족시키는 $t$ 의 값을 구해야 한다.

합성함수의 미분법에 의해

$\begin{aligned} y'(t) = f'\big(x(t)\big) \cdot x'(t) \end{aligned}$

이다. $x(t)=\cos t$ , $y(t)=\sin t$ 를 대입하면

$\begin{aligned} \cos t = f'\big(x(t)\big) \cdot \big(-\sin t\big) \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} f'\big(x(t)\big) = -\frac{\cos t}{\sin t} \end{aligned}$

이고, 이 값이 $-1$ 이 되는 것은 $\sin t = \cos t$ 일 때뿐이다. 이는 $t = \frac{\pi}{4}$ 일 때 일어난다.

참고: 입자가 그리는 경로는 반원이다. 각이 t 인 단위원 위의 점을 생각해도 되고, $x^2 + y^2 = \sin^2t + \cos^2t = 1$ 임을 알아차려도 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수의 미분법계산도전자동 분류