지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 3번

CLP-1 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 방사성 물질의 20%가 붕괴하는 데 8일이 걸립니다. 이 물질 100그램이 40그램으로 붕괴하는 데 얼마나 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

It takes 8 days for 20% of a particular radioactive material to decay. How long does it take for 100 grams of the material to decay to 40 grams?

답 쓰고 채점

일

정답·풀이 보기

$t$ 일 후의 방사성 물질의 양을 $Q(t)$ 라 하자. 그러면 $Q(t)=Q(0)e^{kt}$ 이다. 주어진 조건에서

$\begin{aligned} Q(8)&=0.8\,Q(0) \\ \text{따라서,} \\ Q(0)e^{8k}&=0.8\,Q(0)\\ e^{8k}&=0.8\\ e^k&=0.8^{\tfrac{1}{8}} \\ \text{$Q(0)=100$ 일 때, $Q(t)=40$ 이 되는 시간 $t$ 는 다음과 같이 정해진다.} \\ 40=Q(t)&=Q(0)e^{kt}=100e^{kt}=100\left(0.8^{\tfrac{1}{8}}\right)^t=100\cdot 0.8^{\tfrac{t}{8}} \\ \text{$t$ 에 대해 풀면:} \\ \frac{40}{100}&=0.8^{\tfrac{t}{8}}\\ \log\left(0.4\right)&=\log\left(0.8^{\tfrac{t}{8}}\right)=\frac{t}{8}\log(0.8)\\ t&=\frac{8\log(0.4)}{\log(0.8)}\approx 32.85\text{ 일} \end{aligned}$

100그램은 약 32.85일 후에 40그램으로 붕괴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $Q(t)$ denote the amount of radioactive material after $t$ days. Then $Q(t)=Q(0)e^{kt}$ . We are told

$\begin{aligned} Q(8)&=0.8\,Q(0) \\ \text{So,} \\ Q(0)e^{8k}&=0.8\,Q(0)\\ e^{8k}&=0.8\\ e^k&=0.8^{\tfrac{1}{8}} \\ \text{If $Q(0)=100$, the time $t$ at which $Q(t)=40$ is determined by} \\ 40=Q(t)&=Q(0)e^{kt}=100e^{kt}=100\left(0.8^{\tfrac{1}{8}}\right)^t=100\cdot 0.8^{\tfrac{t}{8}} \\ \text{Solving for $t$:} \\ \frac{40}{100}&=0.8^{\tfrac{t}{8}}\\ \log\left(0.4\right)&=\log\left(0.8^{\tfrac{t}{8}}\right)=\frac{t}{8}\log(0.8)\\ t&=\frac{8\log(0.4)}{\log(0.8)}\approx 32.85\text{ days} \end{aligned}$

100 grams will decay to 40 grams in about 32.85 days.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax 1권 · 6.8절 · 28번우리말 번역

[계산기 사용] 여러분의 방정식의 도함수 ${y}^{'}$ 을 구하고 그래프를 그리세요. 어디에서 증가하나요? 이 증가의 의미는 무엇인가요? 증가가 최대가 되는 값이 있나요?

다 풀었으면 정답 확인

$P'(t)=2.259{e}^{0.06407t}$ . 인구는 항상 증가한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소계산자동 분류