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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

지수적 증가와 감소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

끓는 물이 담긴 유리잔을 방에 놓아두었습니다. 15분 후에는 85∘^\circ C로 식었고, 30분 후에는 73∘^\circ C가 되었습니다. 방의 온도는 몇 도인지 구하세요.

영어 원문 보기

A glass of boiling water is left in a room. After 15 minutes, it has cooled to 85∘^\circ C, and after 30 minutes it is 73∘^\circ C. What temperature is the room?

정답·풀이 보기

끓는 물을 방에 놓아둔 때를 t=0t=0 이라 하고, tt분 후 물의 온도를 T(t)T(t)라 하자. 그러면 T(0)=100T(0)=100 이다. 뉴턴의 냉각 법칙을 이용하여 시간 tt 에서 물의 온도를 다음과 같이 나타낸다.

T(t)=[100−A]eKt+A여기서 A 는 방의 온도이고, K 는 어떤 상수이다. T(15)=85 이고 T(30)=73 이므로:85=T(15)=[100−A]e15K+A73=T(30)=[100−A]e30K+A두 식을 정리하면:85−A100−A=e15K73−A100−A=e30K=(e15K)2이 식들을 이용하면:(85−A100−A)2=(e15K)2=e30K=73−A100−A(85−A)2100−A=73−A(85−A)2=(73−A)(100−A)852−170A+A2=7300−173A+A2173A−170A=7300−8523A=75A=25\begin{aligned} T(t)&=[100-A]e^{Kt}+A \\ \text{여기서 $A$ 는 방의 온도이고, $K$ 는 어떤 상수이다. $T(15)=85$ 이고 $T(30)=73$ 이므로:} \\ 85=T(15)&=[100-A]e^{15K}+A\\ 73=T(30)&=[100-A]e^{30K}+A \\ \text{두 식을 정리하면:} \\ \frac{85-A}{100-A}&=e^{15K}\\ \frac{73-A}{100-A}&=e^{30K}=\left(e^{15K}\right)^2 \\ \text{이 식들을 이용하면:} \\ \left(\frac{85-A}{100-A}\right)^2=\left(e^{15K}\right)^2&=e^{30K}=\frac{73-A}{100-A}\\ \frac{(85-A)^2}{100-A}&=73-A\\ (85-A)^2&=(73-A)(100-A)\\ 85^2-170A+A^2&=7300-173A+A^2\\ 173A-170A&=7300-85^2\\ 3A&=75\\ A&=25 \end{aligned}

방의 온도는 25∘^\circ C이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let t=0t=0 be the time the boiling water is left in the room, and let T(t)T(t) be the temperature of the water tt minutes later, so T(0)=100T(0)=100. Using Newton's Law of Cooling, we model the temperature of the water at time tt as

T(t)=[100−A]eKt+Awhere A is the room temperature, and K is some constant. We are told that T(15)=85 and T(30)=73, so:85=T(15)=[100−A]e15K+A73=T(30)=[100−A]e30K+ARearranging both equations:85−A100−A=e15K73−A100−A=e30K=(e15K)2Using these equations:(85−A100−A)2=(e15K)2=e30K=73−A100−A(85−A)2100−A=73−A(85−A)2=(73−A)(100−A)852−170A+A2=7300−173A+A2173A−170A=7300−8523A=75A=25\begin{aligned} T(t)&=[100-A]e^{Kt}+A \\ \text{where $A$ is the room temperature, and $K$ is some constant. We are told that $T(15)=85$ and $T(30)=73$, so:} \\ 85=T(15)&=[100-A]e^{15K}+A\\ 73=T(30)&=[100-A]e^{30K}+A \\ \text{Rearranging both equations:} \\ \frac{85-A}{100-A}&=e^{15K}\\ \frac{73-A}{100-A}&=e^{30K}=\left(e^{15K}\right)^2 \\ \text{Using these equations:} \\ \left(\frac{85-A}{100-A}\right)^2=\left(e^{15K}\right)^2&=e^{30K}=\frac{73-A}{100-A}\\ \frac{(85-A)^2}{100-A}&=73-A\\ (85-A)^2&=(73-A)(100-A)\\ 85^2-170A+A^2&=7300-173A+A^2\\ 173A-170A&=7300-85^2\\ 3A&=75\\ A&=25 \end{aligned}

The room temperature is 25∘^\circ C.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 3번우리말 번역

어떤 방사성 물질의 20%가 붕괴하는 데 8일이 걸립니다. 이 물질 100그램이 40그램으로 붕괴하는 데 얼마나 걸리는지 구하세요.

답 쓰고 채점
일
다 풀었으면 정답 확인

tt일 후의 방사성 물질의 양을 Q(t)Q(t)라 하자. 그러면 Q(t)=Q(0)ektQ(t)=Q(0)e^{kt} 이다. 주어진 조건에서

Q(8)=0.8 Q(0)따라서,Q(0)e8k=0.8 Q(0)e8k=0.8ek=0.818Q(0)=100 일 때, Q(t)=40 이 되는 시간 t 는 다음과 같이 정해진다.40=Q(t)=Q(0)ekt=100ekt=100(0.818)t=100⋅0.8t8t 에 대해 풀면:40100=0.8t8log⁡(0.4)=log⁡(0.8t8)=t8log⁡(0.8)t=8log⁡(0.4)log⁡(0.8)≈32.85 일\begin{aligned} Q(8)&=0.8\,Q(0) \\ \text{따라서,} \\ Q(0)e^{8k}&=0.8\,Q(0)\\ e^{8k}&=0.8\\ e^k&=0.8^{\tfrac{1}{8}} \\ \text{$Q(0)=100$ 일 때, $Q(t)=40$ 이 되는 시간 $t$ 는 다음과 같이 정해진다.} \\ 40=Q(t)&=Q(0)e^{kt}=100e^{kt}=100\left(0.8^{\tfrac{1}{8}}\right)^t=100\cdot 0.8^{\tfrac{t}{8}} \\ \text{$t$ 에 대해 풀면:} \\ \frac{40}{100}&=0.8^{\tfrac{t}{8}}\\ \log\left(0.4\right)&=\log\left(0.8^{\tfrac{t}{8}}\right)=\frac{t}{8}\log(0.8)\\ t&=\frac{8\log(0.4)}{\log(0.8)}\approx 32.85\text{ 일} \end{aligned}

100그램은 약 32.85일 후에 40그램으로 붕괴한다.

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