지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 3번

CLP-1 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 시료에 처음에 방사성 동위원소가 $C$ g 들어 있고, 시각 $t$ 에서 시료에 남아 있는 방사성 동위원소의 양이 $Q(t)=Ce^{-kt}$ 으로 주어진다고 하자. 여기서 $k$ 는 양의 상수이다. $Q(t)=0$ 이 되는 때는 언제인가요?

영어 원문 보기

Suppose a sample starts out with $C$ grams of a radioactive isotope, and the amount of the radioactive isotope left in the sample at time $t$ is given by $Q(t)=Ce^{-kt}$ for some positive constant $k$ . When will $Q(t)=0$ ?

정답·풀이 보기

구해야 하는 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} Q(t)&=0 \\ \text{즉,} \\ Ce^{-kt}&=0 \end{aligned}$

$C=0$ 이면 모든 $t$ 에 대해 이 등식이 성립한다. 처음부터 동위원소가 없었고, 앞으로도 붕괴하지 않은 동위원소가 영원히 없을 것이다.

$C>0$ 이면 $e^{-kt}>0$ 이므로 $Q(t)>0$ 이다. 따라서 어떤 $t$ 값에 대해서도 $Q(t)$ 는 0이 되지 않는다. (다만 $t$ 가 점점 커질수록 $Q(t)$ 는 0에 점점 가까워진다.)

참고: 이 마지막 결과는 다소 께름칙하다. 분명 어느 시점에는 마지막 원자가 붕괴했을 것이기 때문이다. 우리가 사용한 미분방정식은 $Q$ 가 연속적으로 변한다고 가정하는 모형이다. 이 모형은 원자의 수가 매우 많을 때에만 좋은 근사가 된다. 실제로는 거의 언제나 그러하다.

원본 교재 풀이(영어)

What we're asked to find is when

$\begin{aligned} Q(t)&=0 \\ \text{That is,} \\ Ce^{-kt}&=0 \end{aligned}$

If $C=0$ , then this is the case for all $t$ . There was no isotope to begin with, and there will continue not being any undecayed isotope forever.

If $C>0$ , then since $e^{-kt}>0$ , also $Q(t)>0$ : so $Q(t)$ is never 0 for any value of $t$ . (But as $t$ gets bigger and bigger, $Q(t)$ gets closer and closer to 0.)

Remark: The last result is somewhat disturbing: surely at some point the last atom has decayed. The differential equation we use is a model that assumes $Q$ runs continuously. This is a good approximation only when there is a very large number of atoms. In practice, that is almost always the case.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 1번우리말 번역

다음 중 $x$ 에 대한 미지 함수 $y$ 의 미분방정식인 것을 고르세요. $\text{(a) } y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad\text{(b) } \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3\left[y-5\right] \qquad\text{(c) } y=3\left[y-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\right] \qquad\text{(d) } e^x=e^y+1 \qquad\text{(e) } y=10e^x$

다 풀었으면 정답 확인

이 절의 처음에서 교재는 “미분방정식은 미지 함수의 도함수를 포함하는, 미지 함수에 대한 방정식이다."라고 말한다. 여기서 미지 함수는 $y$ 이므로, 미분방정식은 $y$ 와 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 관련짓는 방정식이다. 이는 (a)와 (b)에는 해당하지만, (c), (d), (e)에는 해당하지 않는다.

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=1$ 임에 주의하자. 이것은 $x$ 를 $x$ 에 대해 미분한 도함수이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소계산기본자동 분류