지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 4번

CLP-1 · 3.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

$f(x) = A e^{kx}$ 꼴의 함수를 생각하자. 여기서 $A$ 와 $k$ 는 상수이다. $f(0)=5$ 이고 $f(7)=\pi$ 일 때, 상수 $A$ 와 $k$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a function of the form $f(x) = A e^{kx}$ where $A$ and $k$ are constants. If $f(0)=5$ and $f(7)=\pi$ , find the constants $A$ and $k$ .

정답·풀이 보기

주어진 두 정보로부터 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} f(0) &= A = 5 & f(7) &= A e^{7k}=\pi \end{aligned}$

따라서 $A=5$ 이고, $\pi = f(7) = 5e^{7k}$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} e^{7k} &= \frac{\pi}{5} \\ 7k &= \log(\pi/5) \\ k &= \frac{1}{7} \cdot \log(\pi/5). \end{aligned}$

여기서 $\log$ 는 자연로그 $\log_e$ 를 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

The two pieces of information give us

$\begin{aligned} f(0) &= A = 5 & f(7) &= A e^{7k}=\pi \end{aligned}$

Thus we know that $A=5$ and so $\pi = f(7) = 5e^{7k}$ . Hence

$\begin{aligned} e^{7k} &= \frac{\pi}{5} \\ 7k &= \log(\pi/5) \\ k &= \frac{1}{7} \cdot \log(\pi/5). \end{aligned}$

where we use $\log$ to mean natural logarithm, $\log_e$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 3번우리말 번역

어떤 시료에 처음에 방사성 동위원소가 $C$ g 들어 있고, 시각 $t$ 에서 시료에 남아 있는 방사성 동위원소의 양이 $Q(t)=Ce^{-kt}$ 으로 주어진다고 하자. 여기서 $k$ 는 양의 상수이다. $Q(t)=0$ 이 되는 때는 언제인가요?

다 풀었으면 정답 확인

구해야 하는 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} Q(t)&=0 \\ \text{즉,} \\ Ce^{-kt}&=0 \end{aligned}$

$C=0$ 이면 모든 $t$ 에 대해 이 등식이 성립한다. 처음부터 동위원소가 없었고, 앞으로도 붕괴하지 않은 동위원소가 영원히 없을 것이다.

$C>0$ 이면 $e^{-kt}>0$ 이므로 $Q(t)>0$ 이다. 따라서 어떤 $t$ 값에 대해서도 $Q(t)$ 는 0이 되지 않는다. (다만 $t$ 가 점점 커질수록 $Q(t)$ 는 0에 점점 가까워진다.)

참고: 이 마지막 결과는 다소 께름칙하다. 분명 어느 시점에는 마지막 원자가 붕괴했을 것이기 때문이다. 우리가 사용한 미분방정식은 $Q$ 가 연속적으로 변한다고 가정하는 모형이다. 이 모형은 원자의 수가 매우 많을 때에만 좋은 근사가 된다. 실제로는 거의 언제나 그러하다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소계산보통자동 분류