지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 4번

CLP-1 · 3.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

어떤 물체가 뉴턴의 냉각 법칙을 따르고, 그 물체의 온도가 어떤 상수 $k$ 에 대해 $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ 로 주어진다고 하자. $T(t)=A$ 가 되는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object obeys Newton's Law of Cooling, and its temperature is given by $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ for some constant $k$ . At what time is $T(t)=A$ ?

정답·풀이 보기

우리가 알고 싶은 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{즉, 다음과 같을 때} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{모든 $k$ 와 $t$ 의 값에 대해 $e^{kt}>0$ 이므로, 이는 다음과 같을 때에만 일어난다} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

따라서 물체의 처음 온도가 주위 온도와 같지 않으면, 이 모델에 따르면 물체의 온도는 결코 주위 온도와 같아지지 않는다! (그러나 $t$ 가 점점 커질수록 $T(t)$ 는 $A$ 에 점점 가까워지며, 다만 정확히 $A$ 에 도달하지는 않는다.)

물체의 처음 온도가 주위 온도와 같으면 $t$ 의 모든 값에 대해 $T(t)=A$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We want to know when

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{That is, when} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{Since $e^{kt}>0$ for all values of $k$ and $t$, this happens exactly when} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

So: if the initial temperature of the object is not the same as the ambient temperature, then according to this model, it never will be! (However, as $t$ gets larger and larger, $T(t)$ gets closer and closer to $A$ –it just never exactly reaches there.)

If the initial temperature of the object starts out the same as the ambient temperature, then $T(t)=A$ for all values of $t$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 7번우리말 번역

아이작 뉴턴은 커피에 크림을 넣어 마십니다. 정확히 말하면 커피 9 : 크림 1의 비율입니다. 집주인 아주머니가 $95^\circ$ C의 커피를 한 잔 따라 주면, 뉴턴은 $5^\circ$ C의 냉장고에서 꺼낸 크림을 그 커피에 넣고 젓습니다. 10분 뒤에 그 혼합물을 마실 때 보니 $54^\circ$ C로 식어 있었습니다. 뉴턴은 마시기 직전에 크림을 넣었다면 커피가 더 뜨거웠을지(그리고 얼마나 더 뜨거웠을지) 궁금해합니다. 다음을 가정하고 이 문제를 분석하세요.

(i) 식당의 온도는 $22^\circ$ C로 일정하다. (ii) 온도가 $T_1$ 인 액체의 부피 $V_1$ 과 온도가 $T_2$ 인 액체의 부피 $V_2$ 를 섞으면, 혼합물의 온도는 $\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}$ 이다. (iii) 뉴턴의 냉각 법칙: 물체의 온도는 물체와 주변의 온도 차에 비례하는 비율로 식는다. (iv) 크림을 넣은 커피 한 잔과 순수한 커피 한 잔의 비례상수는 같다.

다 풀었으면 정답 확인

첫 번째 경우: 시각 $0$ 에 뉴턴은 온도가 $95^\circ$ C 인 커피 9 와 온도가 $5^\circ$ C 인 크림 1 을 섞는다. 그 결과 혼합물의 온도는 $\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ$ 이다. 이 혼합물은 처음 온도 86 $^\circ$ , 주변 온도 22 $^\circ$ 로 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

$\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{10분 후,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

이로부터 $k$ 를 계산할 수 있지만 그럴 필요는 없다.

두 번째 경우: 시각 $0$ 에 뉴턴은 온도가 $95^\circ$ C 인 뜨거운 커피를 받는다. 이 커피는 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

$\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}$

이 두 번째 경우에서 $T(0)=95$ 이므로 $T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22$ 이다. $k$ 의 값은 첫 번째 경우와 같으므로 10분 후에 $T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5$ 이다. 이 식은 커피를 차가운 크림과 섞으면 혼합물의 온도는 $\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15$ 가 된다.

두 번째 경우(마시기 직전에 크림을 넣는 경우)에는 커피가 $0.85^\circ$ C $\,$ 더 차가워진다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소활용기본자동 분류