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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 미분방정식

지수적 증가와 감소

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

아이작 뉴턴은 커피에 크림을 넣어 마십니다. 정확히 말하면 커피 9 : 크림 1의 비율입니다. 집주인 아주머니가 95∘95^\circ C의 커피를 한 잔 따라 주면, 뉴턴은 5∘5^\circ C의 냉장고에서 꺼낸 크림을 그 커피에 넣고 젓습니다. 10분 뒤에 그 혼합물을 마실 때 보니 54∘54^\circ C로 식어 있었습니다. 뉴턴은 마시기 직전에 크림을 넣었다면 커피가 더 뜨거웠을지(그리고 얼마나 더 뜨거웠을지) 궁금해합니다. 다음을 가정하고 이 문제를 분석하세요.

(i) 식당의 온도는 22∘22^\circ C로 일정하다. (ii) 온도가 T1T_1 인 액체의 부피 V1V_1 과 온도가 T2T_2 인 액체의 부피 V2V_2 를 섞으면, 혼합물의 온도는 V1T1+V2T2V1+V2\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2} 이다. (iii) 뉴턴의 냉각 법칙: 물체의 온도는 물체와 주변의 온도 차에 비례하는 비율로 식는다. (iv) 크림을 넣은 커피 한 잔과 순수한 커피 한 잔의 비례상수는 같다.

영어 원문 보기

Isaac Newton drinks his coffee with cream. To be exact, 9 parts coffee to 1 part cream. His landlady pours him a cup of coffee at 95∘95^\circ C into which Newton stirs cream taken from the icebox at 5∘5^\circ C. When he drinks the mixture ten minutes later, he notes that it has cooled to 54∘54^\circ C. Newton wonders if his coffee would be hotter (and by how much) if he waited until just before drinking it to add the cream. Analyze this question, assuming that:

(i) The temperature of the dining room is constant at 22∘22^\circ C. (ii) When a volume V1V_1 of liquid at temperature T1T_1 is mixed with a volume V2V_2 at temperature T2T_2, the temperature of the mixture is V1T1+V2T2V1+V2\dfrac{V_1T_1+V_2T_2}{V_1+V_2}. (iii) Newton's Law of Cooling: The temperature of an object cools at a rate proportional to the difference in temperature between the object and its surroundings. (iv) The constant of proportionality is the same for the cup of coffee with cream as for the cup of pure coffee.

정답·풀이 보기
  • 첫 번째 경우: 시각 00 에 뉴턴은 온도가 95∘95^\circ C 인 커피 9 와 온도가 5∘5^\circ C 인 크림 1 을 섞는다. 그 결과 혼합물의 온도는 9×95+1×59+1=86∘\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ 이다. 이 혼합물은 처음 온도 86∘^\circ, 주변 온도 22∘^\circ 로 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

T(t)=[86−22]e−kt+22T(t)=64e−kt+2210분 후,54=T(10)=22+64e−10ke−10k=54−2264=12\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{10분 후,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}

이로부터 kk 를 계산할 수 있지만 그럴 필요는 없다.

  • 두 번째 경우: 시각 00 에 뉴턴은 온도가 95∘95^\circ C 인 뜨거운 커피를 받는다. 이 커피는 뉴턴의 냉각 법칙에 따라 식는다.

T(t)=[T(0)−22]e−kt+22\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}

이 두 번째 경우에서 T(0)=95T(0)=95 이므로 T(t)=[95−22]e−kt+22=73e−kt+22T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22 이다. kk 의 값은 첫 번째 경우와 같으므로 10분 후에 T(10)=22+73e−10k=22+7312=58.5T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5 이다. 이 식은 커피를 차가운 크림과 섞으면 혼합물의 온도는 9×58.5+1×59+1=53.15\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15 가 된다.

두 번째 경우(마시기 직전에 크림을 넣는 경우)에는 커피가 0.85∘0.85^\circ C \, 더 차가워진다.

원본 교재 풀이(영어)
  • First scenario: At time 00, Newton mixes 9 parts coffee at temperature 95∘95^\circ C with 1 part cream at temperature 5∘5^\circ C. The resulting mixture has temperature 9×95+1×59+1=86∘\frac{9\times 95+1\times 5}{9+1}=86^\circ The mixture cools according to Newton's Law of Cooling, with initial temperature 86∘^\circ and ambient temperature 22∘^\circ:

T(t)=[86−22]e−kt+22T(t)=64e−kt+22After 10 minutes,54=T(10)=22+64e−10ke−10k=54−2264=12\begin{aligned} T(t)&=[86-22]e^{-kt}+22\\ T(t)&=64e^{-kt}+22 \\ \text{After 10 minutes,} \\ 54=T(10)&=22+64e^{-10 k}\\ e^{-10 k}&=\frac{54-22}{64}=\frac{1}{2} \end{aligned}

We could compute kk from this, but we don't need it.

  • Second scenario: At time 00, Newton gets hot coffee at temperature 95∘95^\circ C. It cools according to Newton's Law of Cooling

T(t)=[T(0)−22]e−kt+22\begin{aligned} T(t)=[T(0)-22]e^{-kt}+22 \end{aligned}

In this second scenario, T(0)=95T(0)=95, so T(t)=[95−22]e−kt+22=73e−kt+22T(t)=[95-22]e^{-kt}+22=73e^{-kt}+22 The value of kk is the same as in the first scenario, so after 10 minutes T(10)=22+73e−10k=22+7312=58.5T(10)=22+73e^{-10k}=22+73\frac{1}{2}=58.5 This cooled coffee is mixed with cold cream to yield a mixture of temperature 9×58.5+1×59+1=53.15\frac{9\times 58.5+1\times 5}{9+1}=53.15

Under the second (add cream just before drinking) scenario, the coffee ends up cooler by 0.85∘0.85^\circ C \,.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 1번우리말 번역

시각 tt 에서의 인구가 맬서스 모형 P(t)=P(0)ebt 어떤 양의 상수 b 에 대해P(t)=P(0)e^{bt}\text{ 어떤 양의 상수 $b$ 에 대해} 으로 주어졌다고 하자. lim⁡t→∞P(t)\displaystyle \lim_{t \to \infty}P(t) 의 값을 구하세요. 이 모형은 tt 의 값이 클 때 타당한가요?

다 풀었으면 정답 확인

bb 가 양의 상수이므로 lim⁡t→∞ebt=∞\displaystyle \lim_{t \to \infty}e^{bt}=\infty 이다. 따라서

lim⁡t→∞P(t)=lim⁡t→∞P(0)ebt={0P(0)=0 일 때∞P(0)>0 일 때\begin{aligned} \lim_{t \to \infty}P(t)&=\lim_{t \to \infty} P(0)e^{bt} =\left\{\begin{array}{cc} 0&P(0)=0\text{ 일 때}\\ \infty&P(0)>0\text{ 일 때} \end{array}\right. \end{aligned}

이다.

P(0)=0P(0)=0 이면 이 모형은 단순히 “개체가 하나도 없이 시작한 인구는 영원히 개체가 없는 상태로 남는다”고 말하는 것이며, 이는 분명히 타당하다. P(0)≠0P(0) \neq 0 이면 (인구가 음수일 수는 없으므로) P(0)>0P(0)>0 이고, 이 모형은 “어떤 개체들로 시작한 인구는 충분한 시간이 주어지면 상상할 수 있는 어떤 거대한 수에도 이르게 된다”고 말한다. 이것은 그다지 타당하지 않다. 인구는 자원의 부족 등으로 인해 어느 유한한 크기까지만 증가한다. 맬서스 모형을 유도할 때는 순출생률이 상수라고, 즉 (개체당) 출생률과 사망률이 인구에 의존하지 않는다고 가정하는데, 이는 장기적으로는 합리적인 가정이 아니다.

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