지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 1번

CLP-1 · 3.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

시각 $t$ 에서의 인구가 맬서스 모형 $P(t)=P(0)e^{bt}\text{ 어떤 양의 상수 $b$ 에 대해}$ 으로 주어졌다고 하자. $\displaystyle \lim_{t \to \infty}P(t)$ 의 값을 구하세요. 이 모형은 $t$ 의 값이 클 때 타당한가요?

영어 원문 보기

Let a population at time $t$ be given by the Malthusian model, $P(t)=P(0)e^{bt}\text{ for some positive constant $b$.}$ Evaluate $\displaystyle \lim_{t \to \infty}P(t)$ . Does this model make sense for large values of $t$ ?

정답·풀이 보기

$b$ 가 양의 상수이므로 $\displaystyle \lim_{t \to \infty}e^{bt}=\infty$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty}P(t)&=\lim_{t \to \infty} P(0)e^{bt} =\left\{\begin{array}{cc} 0&P(0)=0\text{ 일 때}\\ \infty&P(0)>0\text{ 일 때} \end{array}\right. \end{aligned}$

이다.

$P(0)=0$ 이면 이 모형은 단순히 “개체가 하나도 없이 시작한 인구는 영원히 개체가 없는 상태로 남는다”고 말하는 것이며, 이는 분명히 타당하다. $P(0) \neq 0$ 이면 (인구가 음수일 수는 없으므로) $P(0)>0$ 이고, 이 모형은 “어떤 개체들로 시작한 인구는 충분한 시간이 주어지면 상상할 수 있는 어떤 거대한 수에도 이르게 된다”고 말한다. 이것은 그다지 타당하지 않다. 인구는 자원의 부족 등으로 인해 어느 유한한 크기까지만 증가한다. 맬서스 모형을 유도할 때는 순출생률이 상수라고, 즉 (개체당) 출생률과 사망률이 인구에 의존하지 않는다고 가정하는데, 이는 장기적으로는 합리적인 가정이 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $b$ is a positive constant, $\displaystyle \lim_{t \to \infty}e^{bt}=\infty$ . Therefore:

$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty}P(t)&=\lim_{t \to \infty} P(0)e^{bt} =\left\{\begin{array}{cc} 0&\text{ if }P(0)=0\\ \infty&\text{ if }P(0)>0 \end{array}\right. \end{aligned}$

If $P(0)=0$ , then the model simply says “a population that starts with no individuals continues to have no individuals indefinitely," which certainly makes sense. If $P(0) \neq 0$ , then (since we can't have a negative population) $P(0)>0$ , and the model says “a population that starts out with some individuals will end up with any gigantically huge number you can think of, given enough time." This one doesn't make so much sense. Populations only grow to a certain finite amount, due to scarcity of resources and such. In the derivation of the Malthusian model, we assume a constant net birth rate–that the birth and death rates (per individual) don't depend on the population, which is not a reasonable assumption long-term.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 3번우리말 번역

맛있는 세균 먹이가 담긴 페트리 접시에 처음 세균 1,000마리로 이루어진 집단을 넣는다. 1시간 후 개체 수가 두 배가 되었다. 맬서스 모형을 가정할 때, 이 집단의 개체 수가 처음의 세 배가 되기까지 걸리는 시간을 구하세요.

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시간

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세균의 처음 개체 수가 1000마리이므로, 맬서스 모형에 따라 접시에 넣은 지 $t$ 시간 후의 세균 수는 어떤 상수 $b$ 에 대해 $P(t)=1000e^{bt}$ 이다. $P(1)=2000$ 이므로

$\begin{aligned} 2000=P(1)&=1000e^{b}\\ 2&=e^b \\ \text{따라서 시각 $t$ 에서의 개체 수는} \\ P(t)&=1000\cdot 2^t \\ \text{개체 수가 3,000마리로 세 배가 되는 시각을 구하려 한다.} \\ 3000&=1000\cdot 2^t\\ 3&=2^t\\ \log(3)&=\log\left(2^t\right)=t\log(2)\\ t&=\frac{\log(3)}{\log(2)}\approx 1.6 \end{aligned}$

개체 수는 약 1.6시간 후에 세 배가 된다. 세 배가 되는 데 걸리는 시간은 상수 $b$ 에만 의존함에 주목하자. 특히 처음 조건 $P(0)$ 에는 의존하지 않는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소활용기본자동 분류