지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 8번

CLP-1 · 3.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

아이스티 한 잔의 온도가 처음에 $5^\circ$ 이다. 공기의 온도가 $30^\circ$ 인 방에서 5분이 지나자 차의 온도가 $10^\circ$ 로 올랐다.

(a) 뉴턴의 냉각 법칙을 이용하여 시각 $t$ 에서의 온도 $T(t)$ 에 대한 미분방정식을 구하세요. (b) 차의 온도가 $20^\circ$ 에 도달하는 때를 구하세요.

영어 원문 보기

The temperature of a glass of iced tea is initially $5^\circ$ . After 5 minutes, the tea has heated to $10^\circ$ in a room where the air temperature is $30^\circ$ .

(a) Use Newton's law of cooling to obtain a differential equation for the temperature $T(t)$ at time $t$ . (b) Determine when the tea will reach a temperature of $20^\circ$ .

정답·풀이 보기

(a) 뉴턴의 냉각 법칙에 의해 온도의 변화율은 $T(t)$ 와 주변 온도의 차에 비례하며, 이 문제에서 주변 온도는 $30^\circ$ 이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k[T(t)-30]$ 이다. 여기서 $k$ 는 비례상수이다. (a)를 풀려면 $k$ 만 구하면 된다.

뉴턴의 냉각 법칙에 따르면 시각 $t$ 에서의 온도는 다음과 같다.

$\begin{aligned} T(t)&=[T(0)-A]e^{kt}+A\\ &=[5-30]e^{kt}+30\\ &=-25e^{kt}+30 \\ \text{$T(5)=10$이 주어져 있다:} \\ 10&=-25e^{5k}+30\\ 25e^{5k}&=20\\ e^{5k}&=\frac{4}{5}\\ 5k&=\log(4/5)\\ k&=\tfrac{1}{5}\log(4/5) \\ \text{따라서 미분방정식은 다음과 같다} \\ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t)&=\frac{1}{5}\log(4/5)[T(t)-30] \end{aligned}$ (b) $T(t)=30-25e^{kt}$ 이므로 차의 온도가 $20^\circ$ 가 되는 때는 다음과 같다.

$\begin{aligned} 30-25 e^{kt}&=20\\ e^{kt}&=\frac{10}{25}\\ kt&=\log\left(\frac{10}{25}\right)\\ t&=\frac{1}{k}\log\frac{2}{5}\\ &=\frac{5\log(2/5)}{\log(4/5)}\\ &\approx{20.53 ~\mathrm{ min}} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) By Newton's law of cooling, the rate of change of temperature is proportional to the difference between $T(t)$ and the ambient temperature, which in this case is $30^\circ$ . Thus $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=k[T(t)-30]$ for some constant of proportionality $k$ . To answer part (a), all we have to do is find $k$ .

Under Newton's Law of Cooling, the temperature at time $t$ will be given by

$\begin{aligned} T(t)&=[T(0)-A]e^{kt}+A\\ &=[5-30]e^{kt}+30\\ &=-25e^{kt}+30 \\ \text{We are told $T(5)=10$:} \\ 10&=-25e^{5k}+30\\ 25e^{5k}&=20\\ e^{5k}&=\frac{4}{5}\\ 5k&=\log(4/5)\\ k&=\tfrac{1}{5}\log(4/5) \\ \text{So, the differential equation is} \\ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t)&=\frac{1}{5}\log(4/5)[T(t)-30] \end{aligned}$ (b) Since $T(t)=30-25e^{kt}$ , the temperature of the tea is $20^\circ$ when

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 4번우리말 번역

어떤 물체가 뉴턴의 냉각 법칙을 따르고, 그 물체의 온도가 어떤 상수 $k$ 에 대해 $T(t)=[T(0)-A]e^{kt}+A$ 로 주어진다고 하자. $T(t)=A$ 가 되는 때는 언제인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

우리가 알고 싶은 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} [T(0)-A]e^{kt}+A&=A \\ \text{즉, 다음과 같을 때} \\ [T(0)-A]e^{kt}&=0 \\ \text{모든 $k$ 와 $t$ 의 값에 대해 $e^{kt}>0$ 이므로, 이는 다음과 같을 때에만 일어난다} \\ T(0)-A=0 \end{aligned}$

따라서 물체의 처음 온도가 주위 온도와 같지 않으면, 이 모델에 따르면 물체의 온도는 결코 주위 온도와 같아지지 않는다! (그러나 $t$ 가 점점 커질수록 $T(t)$ 는 $A$ 에 점점 가까워지며, 다만 정확히 $A$ 에 도달하지는 않는다.)

물체의 처음 온도가 주위 온도와 같으면 $t$ 의 모든 값에 대해 $T(t)=A$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소활용도전자동 분류