지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 3번

CLP-1 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

맛있는 세균 먹이가 담긴 페트리 접시에 처음 세균 1,000마리로 이루어진 집단을 넣는다. 1시간 후 개체 수가 두 배가 되었다. 맬서스 모형을 가정할 때, 이 집단의 개체 수가 처음의 세 배가 되기까지 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

A founding colony of 1,000 bacteria is placed in a petri dish of yummy bacteria food. After an hour, the population has doubled. Assuming the Malthusian model, how long will it take for the colony to triple its original population?

답 쓰고 채점

시간

정답·풀이 보기

세균의 처음 개체 수가 1000마리이므로, 맬서스 모형에 따라 접시에 넣은 지 $t$ 시간 후의 세균 수는 어떤 상수 $b$ 에 대해 $P(t)=1000e^{bt}$ 이다. $P(1)=2000$ 이므로

$\begin{aligned} 2000=P(1)&=1000e^{b}\\ 2&=e^b \\ \text{따라서 시각 $t$ 에서의 개체 수는} \\ P(t)&=1000\cdot 2^t \\ \text{개체 수가 3,000마리로 세 배가 되는 시각을 구하려 한다.} \\ 3000&=1000\cdot 2^t\\ 3&=2^t\\ \log(3)&=\log\left(2^t\right)=t\log(2)\\ t&=\frac{\log(3)}{\log(2)}\approx 1.6 \end{aligned}$

개체 수는 약 1.6시간 후에 세 배가 된다. 세 배가 되는 데 걸리는 시간은 상수 $b$ 에만 의존함에 주목하자. 특히 처음 조건 $P(0)$ 에는 의존하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the initial population of bacteria is 1000 individuals, the Malthusian model says that the population of bacteria $t$ hours after being placed in the dish will be $P(t)=1000e^{bt}$ for some constant $b$ . Since $P(1)=2000$ ,

$\begin{aligned} 2000=P(1)&=1000e^{b}\\ 2&=e^b \\ \text{So, the population at time $t$ is} \\ P(t)&=1000\cdot 2^t \\ \text{We want to know at what time the population triples, to 3,000 individuals.} \\ 3000&=1000\cdot 2^t\\ 3&=2^t\\ \log(3)&=\log\left(2^t\right)=t\log(2)\\ t&=\frac{\log(3)}{\log(2)}\approx 1.6 \end{aligned}$

The population triples in about 1.6 hours. Note that the tripling time depends only on the constant $b$ . In particular, it does not depend on the initial condition $P(0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 2번우리말 번역

1950년대에 순수 혈통의 우드 들소는 멸종한 것으로 여겨졌다. 그러나 캐나다에서 소규모 개체군이 발견되었다. 수십 년 동안 인공 번식 프로그램이 개체 수를 늘리기 위해 운영되었고, 가끔 우드 들소가 야생으로 방사된다. 2015년에 방사된 무리가 121마리였고, 1년 뒤에는 136마리였다고 하자 (이 수치는 2015년 알래스카 샤겔룩 근처에 실제로 방사된 개체 수를 대략 바탕으로 한 것이다. 첫 번째 무리가 방사되는 모습은 여기에서 볼 수 있다.). 우드 들소가 맬서스 모형을 따르고 (큰 가정이다!), 사육 중인 개체가 더 이상 방사되지 않는다면, 2020년에 이 무리는 몇 마리가 되는지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

동물이 맬서스 모형에 따라 증가한다고 가정하면, 2015년으로부터 $t$ 년 후의 개체 수는 어떤 상수 $b$ 에 대해 $P(t)=121e^{bt}$ 로 주어진다. 이는 $121=P(0)$ , 즉 2015년으로부터 0년 후의 개체 수이기 때문이다. 2016년에 관한 정보로부터

$\begin{aligned} 136=P(1)&=121e^{b}\\ \frac{136}{121}&=e^b \\ \text{이로부터 $P(t)$ 를 더 구체적으로 알 수 있다:} \\ P(t)&=121e^{bt}=121\left(\frac{136}{121}\right)^t \\ \text{2020년은 2015년으로부터 5년 후이므로, 2020년의 개체 수는 (개체 수가 계속 맬서스 모형에 따라 증가한다고 가정하면)} \\ P(5)&=121\left(\frac{136}{121}\right)^5\approx217 \end{aligned}$

2020년에 맬서스 모형은 이 무리가 217마리가 될 것으로 예측한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소활용보통자동 분류