지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 2번

CLP-1 · 3.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

1950년대에 순수 혈통의 우드 들소는 멸종한 것으로 여겨졌다. 그러나 캐나다에서 소규모 개체군이 발견되었다. 수십 년 동안 인공 번식 프로그램이 개체 수를 늘리기 위해 운영되었고, 가끔 우드 들소가 야생으로 방사된다. 2015년에 방사된 무리가 121마리였고, 1년 뒤에는 136마리였다고 하자 (이 수치는 2015년 알래스카 샤겔룩 근처에 실제로 방사된 개체 수를 대략 바탕으로 한 것이다. 첫 번째 무리가 방사되는 모습은 여기에서 볼 수 있다.). 우드 들소가 맬서스 모형을 따르고 (큰 가정이다!), 사육 중인 개체가 더 이상 방사되지 않는다면, 2020년에 이 무리는 몇 마리가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

In the 1950s, pure-bred wood bison were thought to be extinct. However, a small population was found in Canada. For decades, a captive breeding program has been working to increase their numbers, and from time to time wood bison are released to the wild. Suppose in 2015, a released herd numbered 121 animals, and a year later, there were 136 (These numbers are loosely based on animals actually released near Shageluk, Alaska in 2015. Watch the first batch being released here.). If the wood bison adhere to the Malthusian model (a big assumption!), and if there are no more releases of captive animals, how many animals will the herd have in 2020?

정답·풀이 보기

동물이 맬서스 모형에 따라 증가한다고 가정하면, 2015년으로부터 $t$ 년 후의 개체 수는 어떤 상수 $b$ 에 대해 $P(t)=121e^{bt}$ 로 주어진다. 이는 $121=P(0)$ , 즉 2015년으로부터 0년 후의 개체 수이기 때문이다. 2016년에 관한 정보로부터

$\begin{aligned} 136=P(1)&=121e^{b}\\ \frac{136}{121}&=e^b \\ \text{이로부터 $P(t)$ 를 더 구체적으로 알 수 있다:} \\ P(t)&=121e^{bt}=121\left(\frac{136}{121}\right)^t \\ \text{2020년은 2015년으로부터 5년 후이므로, 2020년의 개체 수는 (개체 수가 계속 맬서스 모형에 따라 증가한다고 가정하면)} \\ P(5)&=121\left(\frac{136}{121}\right)^5\approx217 \end{aligned}$

2020년에 맬서스 모형은 이 무리가 217마리가 될 것으로 예측한다.

원본 교재 풀이(영어)

The assumption that the animals grow according to the Malthusian model tells us that their population $t$ years after 2015 is given by $P(t)=121e^{bt}$ for some constant $b$ , since $121=P(0)$ , the population 0 years after 2015. The information about 2016 tells us

$\begin{aligned} 136=P(1)&=121e^{b}\\ \frac{136}{121}&=e^b \\ \text{This gives us a better idea of $P(t)$:} \\ P(t)&=121e^{bt}=121\left(\frac{136}{121}\right)^t \\ \text{2020 is 5 years after 2015, so in 2020 (assuming the population keeps growing according to the Malthusian model) the population will be} \\ P(5)&=121\left(\frac{136}{121}\right)^5\approx217 \end{aligned}$

In 2020, the Malthusian model predicts the herd will number 217 individuals.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 5번우리말 번역

한 농부가 붉은 염료를 만드는 데 쓰이는 곤충인 코치닐을 기르려고 한다. 농부는 시험 삼아 코치닐을 소수만 기른다. 공간과 먹이가 충분할 때, 시험용 코치닐 집단은 3개월 후 200개체에서 1000개체로 늘어난다.

농부의 계획은 처음에 $P(0)$ 마리의 코치닐로 시작하여 1년 후에 $1\,000\,000+P(0)$ 마리가 되게 하는 것이다. 그러면 100만 마리는 수확하고, $P(0)$ 마리는 남겨 두어 다시 번식을 시작할 수 있다. 맬서스 모형에 따르면 처음 개체 수 $P(0)$ 은 얼마여야 하는지 구하세요.

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맬서스 모형에 따르면, $P(0)$ 마리의 코치닐로 시작할 때 3개월 후의 개체 수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} P(t)&=P(0)e^{bt} \\ \text{어떤 상수 $b$ 에 대해. 상수 $b$ 는 단위 시간당 개체 한 마리가 만드는 순출생률이다. 더 큰 집단의 순출생률도 시험용 집단과 같다고 가정하면, 시험 자료를 이용하여 $e^b$ 를 구할 수 있다. $Q(t)$ 를 시각 $t$ 에서 시험용 집단의 개체 수라고 하자.} \\ Q(t)&=Q(0)e^{bt}=200e^{bt}\\ 1000&=Q(3)=200e^{3b}\\ 5&=e^{3b}\\ e^b&=5^{1/3} \\ \text{이제 출생률을 알았으므로 다음과 같이 예측한다.} \\ P(t)&=P(0)\left(e^{b}\right)^t=P(0)\cdot5^{\tfrac{t}{3}} \\ \text{$P(12)=10^6+P(0)$ 이어야 한다.} \\ 10^6+P(0)=P(12)&=P(0)\cdot 5^{\tfrac{12}{3}}=P(0)\cdot 5^4\\ 10^6&=P(0)\cdot 5^4-P(0)=P(0)\left[5^4-1\right]\\ P(0)&=\frac{10^6}{5^4-1}\approx 1603 \end{aligned}$

농부는 처음 개체 수를 (적어도) 약 1603 마리로 해야 한다.

참고: 다음 해의 번식을 위해 $P(0)$ 마리를 남겨 두어야 한다는 조건이 없었다면, 1년 후에 100만 마리를 얻기 위해 처음에 필요한 코치닐 수는 1600 마리로, 거의 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소활용보통자동 분류