지수적 증가와 감소 연습문제 — CLP-1 · 3.3절 · 5번

CLP-1 · 3.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

한 농부가 붉은 염료를 만드는 데 쓰이는 곤충인 코치닐을 기르려고 한다. 농부는 시험 삼아 코치닐을 소수만 기른다. 공간과 먹이가 충분할 때, 시험용 코치닐 집단은 3개월 후 200개체에서 1000개체로 늘어난다.

농부의 계획은 처음에 $P(0)$ 마리의 코치닐로 시작하여 1년 후에 $1\,000\,000+P(0)$ 마리가 되게 하는 것이다. 그러면 100만 마리는 수확하고, $P(0)$ 마리는 남겨 두어 다시 번식을 시작할 수 있다. 맬서스 모형에 따르면 처음 개체 수 $P(0)$ 은 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A farmer wants to farm cochineals, which are insects used to make red dye. The farmer raises a small number of cochineals as a test. In three months, a test population of cochineals will increase from 200 individuals to 1000, given ample space and food.

The farmer's plan is to start with an initial population of $P(0)$ cochineals, and after a year have $1\,000\,000+P(0)$ cochineals, so that one million can be harvested, and $P(0)$ saved to start breeding again. What initial population $P(0)$ does the Malthusian model suggest?

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정답·풀이 보기

맬서스 모형에 따르면, $P(0)$ 마리의 코치닐로 시작할 때 3개월 후의 개체 수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} P(t)&=P(0)e^{bt} \\ \text{어떤 상수 $b$ 에 대해. 상수 $b$ 는 단위 시간당 개체 한 마리가 만드는 순출생률이다. 더 큰 집단의 순출생률도 시험용 집단과 같다고 가정하면, 시험 자료를 이용하여 $e^b$ 를 구할 수 있다. $Q(t)$ 를 시각 $t$ 에서 시험용 집단의 개체 수라고 하자.} \\ Q(t)&=Q(0)e^{bt}=200e^{bt}\\ 1000&=Q(3)=200e^{3b}\\ 5&=e^{3b}\\ e^b&=5^{1/3} \\ \text{이제 출생률을 알았으므로 다음과 같이 예측한다.} \\ P(t)&=P(0)\left(e^{b}\right)^t=P(0)\cdot5^{\tfrac{t}{3}} \\ \text{$P(12)=10^6+P(0)$ 이어야 한다.} \\ 10^6+P(0)=P(12)&=P(0)\cdot 5^{\tfrac{12}{3}}=P(0)\cdot 5^4\\ 10^6&=P(0)\cdot 5^4-P(0)=P(0)\left[5^4-1\right]\\ P(0)&=\frac{10^6}{5^4-1}\approx 1603 \end{aligned}$

농부는 처음 개체 수를 (적어도) 약 1603 마리로 해야 한다.

참고: 다음 해의 번식을 위해 $P(0)$ 마리를 남겨 두어야 한다는 조건이 없었다면, 1년 후에 100만 마리를 얻기 위해 처음에 필요한 코치닐 수는 1600 마리로, 거의 같다.

원본 교재 풀이(영어)

The Malthusian model suggests that, if we start with $P(0)$ cochineals, their population after 3 months will be

$\begin{aligned} P(t)&=P(0)e^{bt} \\ \text{for some constant $b$. The constant $b$ is the net birthrate per population member per unit time. Assuming that the net birthrate for a larger population will be the same as the test population, we can use the data from the test to find $e^b$. Let $Q(t)$ be the number of individuals in the test population at time $t$.} \\ Q(t)&=Q(0)e^{bt}=200e^{bt}\\ 1000&=Q(3)=200e^{3b}\\ 5&=e^{3b}\\ e^b&=5^{1/3} \\ \text{Now that we have an idea of the birthrate, we predict} \\ P(t)&=P(0)\left(e^{b}\right)^t=P(0)\cdot5^{\tfrac{t}{3}} \\ \text{We want $P(12)=10^6+P(0)$.} \\ 10^6+P(0)=P(12)&=P(0)\cdot 5^{\tfrac{12}{3}}=P(0)\cdot 5^4\\ 10^6&=P(0)\cdot 5^4-P(0)=P(0)\left[5^4-1\right]\\ P(0)&=\frac{10^6}{5^4-1}\approx 1603 \end{aligned}$

The farmer should use an initial population of (at least) about 1603 individuals.

Remark: if we hadn't specified that we need to save $P(0)$ individuals to start next year's population, the number of individual cochineals we would want to start with to get a million in a year would be 1600–almost the same!

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.3절 · 4번우리말 번역

한 쌍의 쥐가 난파 사고 후 어느 섬에 오게 되었다. 이 쥐들은 맬서스 모형에 따라 번식한다. 1928년에 섬에는 쥐가 1,000마리 있었고, 다음 해에는 1500마리 있었다. 난파 사고는 언제 일어났는지 구하세요.

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맬서스 모형에 따르면, 배가 $t=0$ 인 해에 난파되었고 쥐 2마리가 섬에 닿았다면, 난파 $t$ 년 후 쥐의 개체 수는 다음과 같다.

$\begin{aligned} P(t)&=2e^{bt} \\ \text{어떤 상수 $b$ 에 대해 성립한다. 이 불필요한 변수 $b$ 를 없애기 위해 주어진 정보를 이용한다. 1928년이 난파 $a$ 년 후라면:} \\ 1000=P(a)&=2e^{ba}\\ 1500=P(a+1)&=2e^{b(a+1)}=2e^{ba}e^b \\ \text{따라서,} \\ (1000)\left(e^b\right)&=\left(2e^{ba}\right)\left(e^b\right)=1500 \\ \text{이로부터 다음을 알 수 있다.} \\ e^b&=\frac{1500}{1000}=1.5 \\ \text{이제 모형이 완성되었다:} \\ P(t)&=2\left(e^b\right)^t=2\cdot1.5^t \\ \text{$P(a)=1000$ 이므로 $a$ 를 구할 수 있다:} \\ 1000=P(a)&=2\cdot1.5^a\\ 500&=1.5^a\\ \log(500)&=\log\left(1.5^a\right)=a\log(1.5)\\ a&=\frac{\log(500)}{\log(1.5)}\approx 15.3 \end{aligned}$

따라서 1928년은 난파 약 15.3년 후이다. 쥐가 정확히 1000마리가 된 달이 주어지지 않았으므로, 난파는 1912년 또는 1913년에 일어난 것이 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 지수적 증가와 감소활용보통자동 분류