테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 11번

CLP-1 · 3.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $(2.001)^3$ 의 값을 어림하세요. 답을 $n/1000$ 꼴로 나타내세요. 단, $n$ 은 정수입니다.

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate $(2.001)^3$ . Write your answer in the form $n/1000$ where $n$ is an integer.

정답·풀이 보기

$f(x)=(2+x)^3$ 이라 하면 $f(0.001)$ 을 어림하는 것이다.

$a$ 로 가장 자연스러운 선택은 $a=0$ 이다.

그러면 $f'(x)=3(2+x)^2$ 이므로 $(2.001)^3=f(0.001)\approx f(0)+f'(0)(0.001-0) =8+\frac{12}{1000}=\frac{8012}{1000}$

참고: $f(x)=x^3$ 과 $a=2$ 를 선택했더라도 결과는 완전히 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Set $f(x)=(2+x)^3$ , so we are approximating $f(0.001)$ .

The obvious choice of $a$ is $a=0$ .

Then $f'(x)=3(2+x)^2$ , so $(2.001)^3=f(0.001)\approx f(0)+f'(0)(0.001-0) =8+\frac{12}{1000}=\frac{8012}{1000}$

Remark: if we had chosen $f(x)=x^3$ and $a=2$ , the result would have been exactly the same.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 12번우리말 번역

적절한 선형 근사를 이용하여 $(8.06)^{2/3}$ 의 값을 어림하세요. 답은 분자와 분모가 모두 정수인 분수로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)=(8+x)^{2/3}$ 이라 하고, 중심을 $a=0$ 으로 택한다.

그러면 $f'(x)=\dfrac{2}{3}(8+x)^{-1/3}$ 이므로

$\begin{aligned} (8.06)^{2/3}=f(0.06)&\approx f(0)+f'(0)\cdot 0.06\\ &=8^{2/3}+\frac{2}{3}8^{-1/3}\cdot 0.06\\ &=\sqrt[3]{8}^2+\frac{2}{3\sqrt[3]{8}}\cdot 0.06\\ &=2^2+\frac{2}{3\cdot 2}\cdot 0.06\\ &=4+\frac{1}{3}\cdot 0.06\\&=4.02=\frac{402}{100}\end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류