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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 다항식과 오차

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

함수 f(x)f(x) 의 x=3x=3 에서의 이차근사는 다음과 같다. f(x)≈−x2+6xf(x) \approx -x^2+6x f(3)f(3), f′(3)f'(3), f′′(3)f''(3), f′′′(3)f'''(3) 의 값을 각각 구하세요.

영어 원문 보기

The quadratic approximation of a function f(x)f(x) about x=3x=3 is f(x)≈−x2+6xf(x) \approx -x^2+6x What are the values of f(3)f(3), f′(3)f'(3), f′′(3)f''(3), and f′′′(3)f'''(3)?

정답·풀이 보기

Q(x)Q(x) 가 33 에서 ff 의 이차근사이면 Q(3)=f(3)Q(3)=f(3), Q′(3)=f′(3)Q'(3)=f'(3), Q′′(3)=f′′(3)Q''(3)=f''(3) 이다. 그러나 f(x)f(x) 와 Q(x)Q(x) 의 3계 도함수가 같다는 보장은 없으므로, f′′′(3)f'''(3) 을 알기에는 정보가 충분하지 않다.

f(3)=−32+6(3)=9f′(3)=ddx{−x2+6x}∣x=3=−2x+6∣x=3=0f′′(3)=d2dx2{−x2+6x}∣x=3=ddx{−2x+6}∣x=3=−2\begin{aligned} f(3)&=-3^2+6(3)=9\\ f'(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}=\left.-2x+6\right|_{x=3}=0\\ f''(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-2x+6\right\}\right|_{x=3}=-2 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

If Q(x)Q(x) is the quadratic approximation of ff about 33, then Q(3)=f(3)Q(3)=f(3), Q′(3)=f′(3)Q'(3)=f'(3), and Q′′(3)=f′′(3)Q''(3)=f''(3). There is no guarantee that f(x)f(x) and Q(x)Q(x) share the same third derivative, though, so we do not have enough information to know f′′′(3)f'''(3).

f(3)=−32+6(3)=9f′(3)=ddx{−x2+6x}∣x=3=−2x+6∣x=3=0f′′(3)=d2dx2{−x2+6x}∣x=3=ddx{−2x+6}∣x=3=−2\begin{aligned} f(3)&=-3^2+6(3)=9\\ f'(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}=\left.-2x+6\right|_{x=3}=0\\ f''(3)&=\left.\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}{x}^2}\left\{-x^2+6x\right\}\right|_{x=3}= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-2x+6\right\}\right|_{x=3}=-2 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 6번우리말 번역

이차 근사를 이용하여 5435^{\tfrac{4}{3}} 의 값을 어림하세요.

다 풀었으면 정답 확인

근사할 함수로 고를 수 있는 것이 몇 가지 있다. 예를 들면 다음과 같다.

  • f(x)=x4/3f(x)=x^{4/3}. 이 경우에는 x=8x=8 에서 f(x)f(x) 를 근사하는 것이 좋겠다(8은 세제곱수이므로 84/3=24=168^{4/3}=2^4=16 은 계산할 수 있는 값이다). 또는 x=1x=1 에서 근사해도 된다.
  • f(x)=5xf(x)=5^{x}. xx 가 0 이상의 정수일 때 f(x)f(x) 는 쉽게 구할 수 있으므로 어떤 0 이상의 정수 x=ax=a 를 중심으로 근사하고 싶겠지만, f′(a)=5alog⁡(5)f'(a)=5^a\log(5) 에서 문제가 생긴다. 계산기 없이는 log⁡(5)\log(5) 의 값을 알기 어렵다.
  • 54/3=5535^{4/3}=5\sqrt[3]{5} 이므로 f(x)=5x3f(x)=5\sqrt[3]{x} 를 쓸 수 있다. 첫 번째 항목과 마찬가지로 x=8x=8 또는 x=1x=1 을 중심으로 잡는다.

첫 번째와 세 번째 항목은 큰 차이가 없다. f(x)=5x3f(x)=5\sqrt[3]{x} 를 x=8x=8 중심으로 하여 풀겠다.

f(x)=5x13⇒f(8)=5⋅2=10f′(x)=53x−23⇒f′(8)=53(2−2)=512f′′(x)=53(−23)x−53=−109x−53⇒f′′(8)=−109(2−5)=−5144이차 근사 f(x)≈f(a)+f′(a)(x−a)+12f′′(a)(x−a)2 을 이용하면:f(x)≈10+512(x−8)−5288(x−8)2f(5)≈10+512(−3)−5288(9)=27532\begin{aligned} f(x)&=5x^{\frac{1}{3}}&&\Rightarrow& f(8)&=5\cdot 2 = 10\\ f'(x)&=\frac{5}{3}x^{-\frac{2}{3}}&&\Rightarrow& f'(8)&=\frac{5}{3}\left(2^{-2}\right)=\frac{5}{12}\\ f''(x)&=\frac{5}{3}\left(-\frac{2}{3}\right)x^{-\frac{5}{3}}=-\frac{10}{9}x^{-\frac{5}{3}}&&\Rightarrow& f''(8)&=-\frac{10}{9}\left(2^{-5}\right)=-\frac{5}{144} \\ \text{이차 근사 $f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2$ 을 이용하면:} \\ f(x)&\approx 10+\frac{5}{12}(x-8)-\frac{5}{288}(x-8)^2\\ f(5)&\approx 10+\frac{5}{12}(-3)-\frac{5}{288}(9)=\frac{275}{32} \end{aligned}

따라서 54/3≈275325^{4/3}\approx\dfrac{275}{32} 로 어림한다.

참고: 27532=8.59375\dfrac{275}{32} = 8.59375 이고, 계산기로 구하면 54/3≈8.54995^{4/3}\approx 8.5499 이다. 5와 8이 다소 떨어져 있지만, 어림한 값은 실제 값과 약 0.040.04 만큼만 차이 난다.

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