테일러 다항식과 오차

테일러 다항식을 이용하여 $f(x)=x^{\tfrac{1}{7}}$ 을 근사하자. $3^7=2187$ 이므로 중심을 $x=2187$ 로 잡는다.

오차가 충분히 작아지려면 몇 차 테일러 다항식을 써야 하는지 알아내야 한다.

$n$차 테일러 다항식을 사용하면 오차는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \left|f(2200)-T_n(2200)\right|&=\left|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(2200-2187)^{n+1}\right|\\ &=\left|f^{(n+1)}(c)\right|\cdot\frac{13^{n+1}}{(n+1)!} \\ \text{어떤 $c$ 가 $(2187,2200)$ 안에 있다. 이 값이 0.001 보다 작으려면 다음이 성립해야 한다.} \\ \left|f^{(n+1)}(c)\right|\cdot\frac{13^{n+1}}{(n+1)!}&<0.001\\ \left|f^{(n+1)}(c)\right|&<\frac{ (n+1)!}{1000\cdot13^{n+1}} \end{aligned}$$

어떤 $n$ 에서 이 부등식이 성립하는지 알아내기는 까다롭다. 표를 만들어 보자. 표를 채우는 계산 과정을 모두 보이지는 않지만, 계산은 일반적인 방법을 따른다.

$$\begin{array}{c|c|c|c} n & \dfrac{(n+1)!}{1000\cdot 13^{n+1}} & \left|f^{(n+1)}(c)\right| & \textup{Is }\left|f^{(n+1)}(c)\right|<\dfrac{ (n+1)!}{1000\cdot13^{n+1}}\textup{?} \\~&~&~\\ \hline ~&~&~\\ 0&\dfrac{1}{1000\cdot 13}&|f'(c)|=\dfrac{1}{7c^{6/7}}<\dfrac{1}{7\cdot 3^6}& \\~&~&~\\ \hline ~&~&~\\ 1&\dfrac{2}{1000\cdot 13^2}&|f''(c)|=\dfrac{6}{7^2\cdot c^{\tfrac{13}{7}}}<\dfrac{6}{7^2\cdot 3^{13}}&\textup{Yes!} \end{array}$$

즉, 1차 테일러 다항식을 사용하면 $2187$ 과 $2200$ 사이의 어떤 $c$ 에 대해

$$\begin{aligned} |f(2200)-T_1(2200)|&=\left|f''(c)\right|\cdot\frac{13^2}{2!}\\ &=\frac{6}{7^2\cdot c^{\tfrac{13}{7}}}\cdot\frac{13^2}{2}\\ &<\dfrac{6}{7^2\cdot 3^{13}}\cdot\dfrac{13^2}{2}\\ &=\dfrac{3\cdot 13^2}{7^2 \cdot 3^{13}}\approx 0.0000065 \end{aligned}$$

따라서 사실 1차 테일러 다항식(또는 더 높은 차수의 테일러 다항식)을 쓰면 요구되는 것보다 훨씬 정확한 어림값을 얻는다. (그러나 상수 근사가 충분히 정확한지는 알 수 없으므로 $n \geq 1$ 을 쓰는 것이 좋다.)

1차 테일러 다항식을 쓸 수 있음을 알았으므로 $T_1(x)$ 를 계산하자. $x=2187$ 에서 $f(x)=x^{\tfrac{1}{7}}$ 의 테일러 다항식을 구하는 것임을 기억하자.

$$\begin{aligned} f(2187)&=2187^{\tfrac{1}{7}}=3\\ f'(x)&=\frac{1}{7}x^{-\tfrac{6}{7}}\\ f'(2187)&=\frac{1}{7\sqrt[7]{2187}^6}=\frac{1}{7\cdot3^6}\\ T_1(x)&=f(2187)+f'(2187)(x-2187)\\ &=3+\frac{x-2187}{7\cdot3^6}\\ T_1(2200)&=3+\frac{2200-2187}{7\cdot3^6}\\ &=3+\frac{13}{7\cdot 3^6}\\ &\approx 3.00255 \end{aligned}$$

따라서 $\sqrt[7]{2200}\approx 3.00255$ 이다.