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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

테일러 다항식과 오차

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+ \cos x 의 16차 매클로린 다항식을 구하세요.

영어 원문 보기

Give the 16th order Maclaurin polynomial for f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x)=\sin x+ \cos x.

정답·풀이 보기

일반적인 함수의 16차 매클로린 다항식을 구하려면 16번 미분해야 한다고 생각할 수도 있다(휴). 하지만 사인함수와 코사인함수의 도함수는 반복된다는 것을 알고 있다. 따라서 규칙만 찾으면 충분하다:

f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(0)=1f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf′(0)=1f′′(x)=−sin⁡x−cos⁡xf′′(0)=−1f′′′(x)=−cos⁡x+sin⁡xf′′′(0)=−1f(4)=sin⁡x+cos⁡xf(4)(0)=1\begin{aligned} f(x)&=\sin x + \cos x & f(0)&=1\\ f'(x)&=\cos x - \sin x & f'(0)&=1\\ f''(x)&=-\sin x - \cos x & f''(0)&=-1\\ f'''(x)&=-\cos x +\sin x & f'''(0)&=-1\\ f^{(4)}&=\sin x + \cos x & f^{(4)}(0)&=1 \end{aligned}

f(4)(x)=f(x)f^{(4)}(x)=f(x) 이므로 도함수는 여기서부터 반복된다. 규칙은 다음과 같다: +1 +1, +1 +1, −1 -1, −1 -1.

T16(x)=1+x−12x2−13!x3+14!x4+15!x5−16!x6−17!x7+18!x8+19!x9−110!x10−111!x11+112!x12+113!x13−114!x14−115!x15+116!x16\begin{aligned} T_{16}(x)&=1 +x -\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 +\frac{1}{5!}x^5 -\frac{1}{6!}x^6 -\frac{1}{7!}x^7 +\frac{1}{8!}x^8 +\frac{1}{9!}x^9 -\frac{1}{10!}x^{10} -\frac{1}{11!}x^{11}\\ &\qquad +\frac{1}{12!}x^{12} +\frac{1}{13!}x^{13} -\frac{1}{14!}x^{14} -\frac{1}{15!}x^{15} +\frac{1}{16!}x^{16} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

If we were to find the 16th order Maclaurin polynomial for a generic function, we might expect to have to differentiate 16 times (ugh). But, we know that the derivatives of sines and cosines repeat themselves. So, it's enough to figure out the pattern:

f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(0)=1f′(x)=cos⁡x−sin⁡xf′(0)=1f′′(x)=−sin⁡x−cos⁡xf′′(0)=−1f′′′(x)=−cos⁡x+sin⁡xf′′′(0)=−1f(4)=sin⁡x+cos⁡xf(4)(0)=1\begin{aligned} f(x)&=\sin x + \cos x & f(0)&=1\\ f'(x)&=\cos x - \sin x & f'(0)&=1\\ f''(x)&=-\sin x - \cos x & f''(0)&=-1\\ f'''(x)&=-\cos x +\sin x & f'''(0)&=-1\\ f^{(4)}&=\sin x + \cos x & f^{(4)}(0)&=1 \end{aligned}

Since f(4)(x)=f(x)f^{(4)}(x)=f(x), our derivatives repeat from here. They follow the pattern: +1 +1, +1 +1, −1 -1, −1 -1.

T16(x)=1+x−12x2−13!x3+14!x4+15!x5−16!x6−17!x7+18!x8+19!x9−110!x10−111!x11+112!x12+113!x13−114!x14−115!x15+116!x16\begin{aligned} T_{16}(x)&=1 +x -\frac{1}{2}x^2 -\frac{1}{3!}x^3 +\frac{1}{4!}x^4 +\frac{1}{5!}x^5 -\frac{1}{6!}x^6 -\frac{1}{7!}x^7 +\frac{1}{8!}x^8 +\frac{1}{9!}x^9 -\frac{1}{10!}x^{10} -\frac{1}{11!}x^{11}\\ &\qquad +\frac{1}{12!}x^{12} +\frac{1}{13!}x^{13} -\frac{1}{14!}x^{14} -\frac{1}{15!}x^{15} +\frac{1}{16!}x^{16} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 2번우리말 번역

t=5t=5 에서 s(t)=4.9t2−t+10s(t)=4.9t^2-t+10 의 100차 테일러 다항식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

테일러 다항식은 함수 s(t)s(t) 의 다항식 근사를 준다. s(t)s(t) 자체가 다항식이므로, nn 이 s(t)s(t) 의 차수보다 크거나 같을 때 nn차 테일러 다항식은 그대로 s(t)s(t) 가 된다. 따라서 이 경우 T100(t)=s(t)=4.9t2−t+10T_{100}(t)=s(t)=4.9t^2-t+10 이다.

이것이 만족스럽지 않다면 T100(t)T_{100}(t) 를 구하는 일반적인 방법으로 계산해 볼 수 있다.

s(t)=4.9t2−t+10s(5)=4.9(25)−5+10=127.5s′(t)=9.8t−1s′(5)=9.8(5)−1=48s′′(t)=9.8s′′(5)=9.8\begin{aligned} s(t)&=4.9t^2-t+10 & s(5)&=4.9(25)-5+10=127.5\\ s'(t)&=9.8t-1 & s'(5)&=9.8(5)-1=48\\ s''(t)&=9.8 & s''(5)&=9.8 \end{aligned}

s(t)s(t) 의 나머지 도함수는 모두 항등적으로 0 이므로 특히 t=5t=5 일 때도 0 이다. 따라서

T100(t)=127.5+48(t−5)+129.8(t−5)2=127.5+48(t−5)+4.9(t−5)2\begin{aligned} T_{100}(t)&=127.5+48(t-5)+\frac{1}{2}9.8(t-5)^2\\ &=127.5+48(t-5)+4.9(t-5)^2 \end{aligned}

이제 T100(t)T_{100}(t) 가 정말 s(t)s(t) 와 같은지 확인할 수 있다.

T100(t)=127.5+48(t−5)+4.9(t−5)2=127.5+48(t−5)+4.9(t2−10t+25)=[127.5+48(−5)+4.9(25)]+[48−4.9(10)]t+4.9t2=10−t+4.9t2=s(t)\begin{aligned} T_{100}(t)&=127.5+48(t-5)+4.9(t-5)^2\\ &=127.5+48(t-5)+4.9(t^2-10t+25)\\ &=[127.5+48(-5)+4.9(25)]+[48-4.9(10)]t+4.9t^2\\ &=10-t+4.9t^2=s(t) \end{aligned}

예상대로이다.

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