테일러 다항식과 오차 연습문제 — CLP-1 · 3.4절 · 3번

CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x)=3x^2-5$ 라 하자. $x$ 를 $10$ 으로 측정했지만 실제 값이 $11$ 일 때, 선형 근사를 이용하여 $f(x)$ 에 생기는 오차를 어림하고, 이어서 이차 근사를 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)=3x^2-5$ . If you measure $x$ to be $10$ , but its actual value is $11$ , estimate the resulting error in $f(x)$ using the linear approximation, and then the quadratic approximation.

정답·풀이 보기

$f'(x)=6x$ 이므로 $x=10$ 일 때 $f'(10)=60$ 이다. $\Delta y=f(11)-f(10)$ , $\Delta x = 11-10$ 이라 하면 선형 근사로부터 $\Delta y \approx 60\Delta x = 60$ 을 얻는다. 따라서 선형 근사는 $f(x)$ 의 오차를 약 60 으로 어림한다.

$f''(x)=6$ 이므로 이차 근사( $f'(10)=60$ , $f''(10)=6$ , $\Delta x = 1$ 을 이용)로부터 $\Delta y \approx f'(10)\Delta x+\frac{1}{2}f''(1)\left(\Delta x\right)^2= 60\cdot 1 +\frac{1}{2}(6)(1)^2= 63$ 을 얻는다. 따라서 이차 근사는 $f(x)$ 의 오차를 약 63 으로 어림한다. (실제로 $f(11)-f(10)$ 의 정확한 값은 63 이다. 이차 근사로 어림한 오차가 실제 오차와 정확히 같은 것은 우연이 아니다. 이는 $f(x)$ 가 이차 함수라는 사실에서 비롯된 결과이다.)

원본 교재 풀이(영어)

Since $f'(x)=6x$ , when $x=10$ , $f'(10)=60$ . If $\Delta y=f(11)-f(10)$ , and $\Delta x = 11-10$ , then the linear approximation tells us $\Delta y \approx 60\Delta x = 60$ So, the linear approximates estimates the error in $f(x)$ to be about 60.

Since $f''(x)=6$ , the quadratic approximation (using $f'(10)=60$ , $f''(10)=6$ , and $\Delta x = 1$ ) tells us $\Delta y \approx f'(10)\Delta x+\frac{1}{2}f''(1)\left(\Delta x\right)^2= 60\cdot 1 +\frac{1}{2}(6)(1)^2= 63$ So, the quadratic approximates estimates the error in $f(x)$ to be about 63. (Indeed, the exact value of $f(11)-f(10)$ is 63. It is not a fluke that our estimated error, using a quadratic approximation, is exactly the same as our actual error. It is a consequence of the fact that $f(x)$ is a quadratic function.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.4절 · 6번우리말 번역

$f(x)=x^3\left[2\log x - \dfrac{11}{3}\right]$ 의 $x=a$ 에서의 3차 테일러 다항식이 $T_3(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{e^3}+3ex-6\sqrt{e}x^2+x^3$ 일 때, $a$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$T_3(x)$ 는 $x=a$ 에서 $f(x)$ 의 3차 테일러 다항식이므로 다음이 성립한다.

$f(a)=T_3(a)$
$f'(a)=T'_3(a)$
$f''(a)=T''_3(a)$
$f'''(a)=T'''_3(a)$

그런데 이 중 일부는 별로 쓸모가 없어 보인다. 예를 들어 첫 번째 항목을 이용하면 다음 방정식을 얻는다. $a^3\left[2\log a - \frac{11}{3}\right]=-\frac{2}{3}\sqrt{e^3}+3ea-6\sqrt{e}a^2+a^3$ 이것을 푸는 것은 매우 어렵다. 대신 목록의 아래로 갈수록 식이 어떻게 되는지 생각해 보자. $T_3(x)$ 는 삼차식이므로 $T_3'''(x)$ 는 상수이다(따라서 $T_3'''(a)$ 는 $a$ 에 의존하지 않는다). 이것이 가장 간단한 방법일 것 같다. 미분을 시작하자. $f'''(a)$ 와 $T_3'''(a)$ 를 모두 알아야 한다.

$\begin{aligned} f(x)&=x^3\left[2\log x - \frac{11}{3}\right]\\ f'(x)&=x^3\left[\frac{2}{x}\right]+3x^2\left[2\log x - \frac{11}{3}\right]=6x^2\log x -9x^2\\ f''(x)&=6x^2\cdot\frac{1}{x}+12x\log x - 18x=12x\log x - 12 x\\ f'''(x)&=12x\cdot\frac{1}{x}+12\log x - 12 = 12\log x\\ f'''(a)&=12\log a \\ \text{이제 테일러 다항식으로 넘어가자. $e$ 는 상수임을 기억하자.} \\ T_3(x)&=-\frac{2}{3}\sqrt{e^3}+3ex-6\sqrt{e}x^2+x^3\\ T_3'(x)&=3e-12\sqrt{e}x+3x^2\\ T_3''(x)&=-12\sqrt{e}+6x\\ T_3'''(x)&=6\\ T_3'''(a)&=6 \\ \text{마지막 항목에서 다음 방정식을 얻는다:} \\ f'''(a)&=T_3'''(a)\\ 12\log a &= 6\\ \log a &= \frac{1}{2}\\ a&=e^{\tfrac{1}{2}} \end{aligned}$

따라서 $a=\sqrt{e}$ 이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 테일러 다항식과 오차계산기본자동 분류