함수의 그래프 그리기 연습문제 — CLP-1 · 3.6절 · 1번

CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)$ 가 다음과 같이 주어졌다고 하자. $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ 여기서 $g(x)$ 도 함수이다. 참 또는 거짓: $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function given by $f(x)= \frac{g(x)}{x^2-9}$ where $g(x)$ is also a function. True or false: $f(x)$ has a vertical asymptote at $x=-3$ .

정답·풀이 보기

일반적으로 이것은 거짓이다. 예를 들어 함수 $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ 은 정의역의 모든 점에서 1 과 같으므로(그리고 $x=\pm3$ 일 때는 정의되지 않으므로) 수직 점근선이 없다.

그러나 $f(x)$ 가 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는 것은 분명히 가능하다. 예를 들어 $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ 은 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다. 더 일반적으로, $g(x)$ 가 연속이고 $g(-3)\ne 0$ 이면 $f(x)$ 는 $x=-3$ 에서 수직 점근선을 갖는다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, this is false. For example, the function $f(x) = \dfrac{x^2-9}{x^2-9}$ has no vertical asymptotes, because it is equal to 1 in every point in its domain (and is undefined when $x=\pm3$ ).

However, it is certainly possible that $f(x)$ has a vertical asymptote at $x=-3$ . For example, $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$ has a vertical asymptote at $x=-3$ . More generally, if $g(x)$ is continuous and $g(-3)\ne 0$ , then $f(x)$ has a vertical asympotote at $x=-3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{x(2x+1)(x-7)}{3x^3-81}$ 의 모든 점근선을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

수직 점근선은 함수가 무한히 커지는 곳에서 생긴다. 유리함수에서는 분모가 0이 될 때에만 이런 일이 일어날 수 있다. 이 문제에서는 $x=3$ 일 때 분모가 0이고, 이때 분자는 $147$ 이다. 즉 $x$ 가 3에 한없이 가까워지면 분자는 147에 한없이 가까워지고 분모는 0에 한없이 가까워지므로, $|f(x)|$ 는 한없이 커진다. 따라서 $x=3$ 에서 수직 점근선이 있다.

수평 점근선은 $x$ 가 양의 무한대와 음의 무한대로 갈 때의 극한을 구하여 찾는다. 이 문제에서는 두 극한이 같으므로 풀이를 하나로 합쳐 쓴다.

$\begin{aligned} \lim_{x \to \pm \infty}\dfrac{x(2x+1)(x-7)}{3x^3-81} &=\lim_{x \to \pm \infty}\dfrac{2x^3+ax^2+bx+c}{3x^3-81} \\ \text{여기서 $a$, $b$, $c$ 는 어떤 상수이다. 유리함수에서는 최고차항만 보면 양 끝에서의 변화 양상을 알 수 있고 나머지 항은 영향을 주지 않으므로, 그 값을 굳이 구하지 않는다는 점을 기억하자. 이제 분자와 분모를 분모의 최고차항인 $x^3$ 으로 나눈다.} \\ &=\lim_{x \to \pm \infty}\dfrac{2x^3+ax^2+bx+c}{3x^3-81}\left(\frac{\tfrac{1}{x^3}}{\tfrac{1}{x^3}}\right)\\ &=\lim_{x \to \pm \infty}\dfrac{2+\tfrac{a}{x}+\tfrac{b}{x^2}+\tfrac{c}{x^3}}{3-\tfrac{81}{x^3}}\\ &=\dfrac{2+0+0+0}{3-0}=\frac{2}{3} \end{aligned}$

따라서 $x \to \infty$ 일 때와 $x \to -\infty$ 일 때 모두 수평 점근선 $y=\dfrac{2}{3}$ 가 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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