부정적분의 뜻과 계산 연습문제 — CLP-1 · 4.1절 · 1번

CLP-1 · 4.1절 · 1번우리말 번역

$f(x)$ 를 도함수가 $f'(x)$ 인 함수라 하자. $f'(x)$ 의 가장 일반적인 부정적분을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)$ be a function with derivative $f'(x)$ . What is the most general antiderivative of $f'(x)$ ?

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$f'(x)$ 의 부정적분은 도함수가 $f'(x)$ 인 함수이다. 원래의 함수 $f(x)$ 가 이 성질을 가지므로 $f(x)$ 는 $f'(x)$ 의 하나의 부정적분이지만, 가장 일반적인 것은 아니다. $f(x)$ 에 상수를 더해도 도함수는 변하지 않는다. 따라서 $f'(x)$ 의 가장 일반적인 부정적분은 $f(x)+C$ 이다. 여기서 $C$ 는 임의의 상수이다.

원본 교재 풀이(영어)

An antiderivative of $f'(x)$ is a function whose derivative is $f'(x)$ . Our original function $f(x)$ has this property, so $f(x)$ is an antiderivative of $f'(x)$ , but it's not the most general. We can add a constant to $f(x)$ without affecting its derivative. The most general antiderivative of $f'(x)$ is $f(x)+C$ , where $C$ is any constant.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-1 · 4.1절 · 2번우리말 번역

아래 그래프에서 검은색 곡선은 $y=f(x)$ 이다. 색깔이 있는 곡선 중 어느 것이 $f(x)$ 의 부정적분(원시함수)인지 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$f(x)$ 는 그래프의 왼쪽 부분을 이루는 구간에서 0 이상이고, 오른쪽 부분에서는 음수임을 알 수 있다. 따라서 그 부정적분은 왼쪽 구간에서 증가하고, 오른쪽 구간에서 감소한다. 이는 $A(x)$ 와 $C(x)$ 에는 해당하지만 $B(x)$ 에는 해당하지 않는다.

$A(x)$ 가 수평인 접선을 갖는 점은 세 곳뿐이다. 최댓값을 갖는 점과 그림에 나타난 구간의 양 끝점이다. 반면 $C(x)$ 는 수평인 접선을 갖는 곳이 네 곳이다. 최댓값을 갖는 점, 변곡점, 그리고 그림에 나타난 구간의 양 끝점이다. $f(x)=0$ 인 곳이 네 곳이고(이들은 $C(x)$ 의 수평인 부분과 일치한다) 따라서 $C(x)$ 가 $f(x)$ 의 부정적분이라고 결론짓는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 부정적분의 뜻과 계산계산기본자동 분류