정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — CLP-2 · 1.1절 · 38번

CLP-2 · 1.1절 · 38번우리말 번역

다음 적분을 생각하세요.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) 구간의 수를 $n=3$ 으로 하여 왼쪽 리만 합으로 이 적분의 근삿값을 구하세요. (b) 구간의 수가 $n$ 일 때 오른쪽 리만 합을 식으로 나타내고, 그 합을 계산하세요. 이제 리만 합의 식에서 극한 $n \to \infty$ 를 취하여 적분 ( $*$ ) 의 값을 정확하게 구하세요.

다음 항등식을 이용해도 됩니다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Consider the integral:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x . ~~~~~~~~~ (*) \end{aligned}$

(a) Approximate this integral using the left Riemann sum with $n=3$ intervals. (b) Write down the expression for the right Riemann sum with $n$ intervals and calculate the sum. Now take the limit $n \to \infty$ in your expression for the Riemann sum, to evaluate the integral ( $*$ ) exactly.

You may use the identity

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} i^3 = \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \end{aligned}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 왼쪽 리만 합은 다음과 같이 정의된다.

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{여기서 }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

$n=3$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ 이고, $x_0=0$ , $x_1=1$ , $x_2=2$ 이다. 함수 $f(x) = 7 + x^3$ 의 값은 $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , $f(x_2) = 7+2^3=15$ 이므로 다음을 얻는다.

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) $n$ 개의 구간으로 나누면 $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ 이고 $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ 이다. 따라서 오른쪽 리만 합은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left[ 7 + \frac{(3i)^3}{n^3} \right] \frac{3}{n} = \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{21}{n} + \frac{81\,i^3}{n^4} \right] \end{aligned}$

합을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} R_n &= \left( \frac{21}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 \right) + \left( \frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^{n} i^3 \right)\\ &=\left( \frac{21}{n}\times n \right)+\left( \frac{81}{n^4} \times \frac{n^4 +2n^3 + n^2}{4} \right)\\ &= 21 + \frac{81}{4}(1 +2/n + 1/n^2) \end{aligned}$

극한값을 정확하게 구하기 위해 $n \to \infty$ 를 취한다. $1/n$ 을 포함한 항은 0 으로 사라지므로 다음이 남는다.

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The left Riemann sum is defined as

$\begin{aligned} L_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1})\Delta x \qquad\text{with }x_i=a+i\Delta x \end{aligned}$

We subdivide into $n=3$ intervals, so that $\Delta x = \frac{b-a}{n} =\frac{3-0}{3}=1$ , $x_0=0$ , $x_1=1$ and $x_2=2$ . The function $f(x) = 7 + x^3$ has the values $f(x_0) = 7+0^3=7$ , $f(x_1) = 7+1^3=8$ , and $f(x_2) = 7+2^3=15$ , from which we evaluate

$\begin{aligned} L_3 = \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x = \big[7+8+15\big]\times 1= 30 \end{aligned}$

(b) We divide into $n$ intervals so that $\Delta x = \frac{b-a}{n}=\frac{3}{n}$ and $x_i = a+i\Delta x= \frac{3i}{n}$ . The right Riemann sum is therefore:

To calculate the sum:

To evaluate the limit exactly, we take $n \to \infty$ . The expressions involving $1/n$ vanish leaving:

$\begin{aligned} \int_0^3 (7 + x^3) \,\,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} R_n = 21 + \frac{81}{4} = 41 \frac{1}{4} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류