정적분과 급수(구분구적법) 연습문제 — CLP-2 · 1.1절 · 39번

CLP-2 · 1.1절 · 39번우리말 번역

오른쪽 끝점 리만 합의 극한을 이용하여 $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

공식 $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ 과 $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ 을 사용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Using a limit of right–endpoint Riemann sums, evaluate $\displaystyle\int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x$ .

You may use the formulas $\sum\limits_{i=1}^n i = \frac{n(n + 1)}{2}$ and $\sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

일반적으로 $n$ 개의 직사각형을 사용하여 적분 $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 오른쪽 끝점 리만 합으로 근사한 값은

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

이다. 여기서 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 이다. 이 문제에서 $a=2$ , $b=4$ , $f(x)=x^2$ 이므로 $\Delta x=\frac{2}{n}$ 이고, 오른쪽 끝점 리만 합 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f\Big(2+\frac{2i}{n}\Big) \frac{2}{n}&= \sum_{i=1}^n \Big(2+\frac{2i}{n}\Big)^2 \frac{2}{n}\\ &=\sum_{i=1}^n \left(4+\frac{8i}{n}+\frac{4i^2}{n^2}\right)\frac{2}{n} \\&=\sum_{i=1}^n \left(\frac{8}{n}+\frac{16i}{n^2}+\frac{8i^2}{n^3}\right) \\&=\sum_{i=1}^n \frac{8}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{16i}{n^2} +\sum_{i=1}^n \frac{8i^2}{n^3} \\ &=\frac{8}{n}\sum_{i=1}^n 1+\frac{16}{n^2}\sum_{i=1}^n i +\frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2\\ &=\frac{8}{n}n + \frac{16}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} +\frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \\ &=8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)\Big(2+\frac{1}{n}\Big) \\ \end{aligned}$

따라서

$\begin{aligned} \int_2^4 x^2\ \,\mathrm{d}x=\lim_{n\rightarrow\infty} \Big[8 + 8\Big(1+\frac{1}{n}\Big) +\frac{4}{3}\Big(1+\frac{1}{n}\Big) \big(2+\frac{1}{n}\Big)\Big] =8+8+\frac{4}{3}\times 2 =\frac{56}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

In general, the right–endpoint Riemann sum approximation to the integral $\int_a^b f(x)\,\,\mathrm{d}x$ using $n$ rectangles is

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n f(a+i\Delta x) \Delta x \end{aligned}$

where $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ . In this problem, $a=2$ , $b=4$ , and $f(x)=x^2$ , so that $\Delta x=\frac{2}{n}$ and the right–endpoint Riemann sum approximation becomes

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 4.2절 · 10번우리말 번역

직선 도로를 달리는 자동차가 브레이크를 밟고 있으며, 여러 시각에서 자동차의 속도를 측정하여 다음 표와 같은 값을 얻었습니다.

브레이크를 밟는 자동차의 자료

시간(초), $t$	$0$	$0.3$	$0.6$	$0.9$	$1.2$	$1.5$	$1.8$
속도(ft/sec), $v(t)$	$100$	$88$	$74$	$59$	$40$	$19$	$0$

(a) 가로축을 시간, 세로축을 속도로 하여 주어진 자료를 좌표평면에 나타내세요. (b) 3개의 부분구간으로 나눈 중점 리만 합을 사용하여, 자동차가 브레이크를 밟는 동안 이동한 총 거리를 어림하세요. (c) $L_6$ , $R_6$ , $\frac{1}{2}(L_6 + R_6)$ 을 계산하여 $[0,1.8]$ 에서 이동한 총 거리를 어림하세요. (d) $v(t)$ 가 $[0,1.8]$ 에서 항상 감소한다고 가정할 때, 자동차가 멈추기 전까지 이동했을 수 있는 최대 거리는 얼마입니까? 그 이유는 무엇입니까?

다 풀었으면 정답 확인

(a) 주어진 자료를 그래프로 나타내면 아래 그림과 같다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요. (b) 주어진 자료로 $M_3$ 을 구하면, 중점은 $\overline{x_1} = 0.3$ , $\overline{x_2} = 0.9$ , $\overline{x_3} = 1.5$ 이고 $\triangle t = 0.6$ 이므로 $M_3 = f(0.3) \cdot 0.6 + f(0.9) \cdot 0.6 + f(1.5) \cdot 0.6 = 166 \cdot 0.6 = 99.6\,.$ 따라서 자동차는 브레이크를 밟는 $1.8$ 초 동안 약 $99.6$ 피트를 이동한다. (c) 기본 공식을 사용하면 $L_6 = f(0) \cdot 0.3 + f(0.3) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.5) \cdot 0.3 = 380 \cdot 0.3 = 114$ 이고 $R_6 = f(0.3) \cdot 0.3 + f(0.6) \cdot 0.3 + \cdots + f(1.8) \cdot 0.3 = 280 \cdot 0.3 = 84\,.$ 이므로 $\frac{1}{2}(L_6 + R_6) = \frac{114+84}{2} = 99\,.$ 이 세 값은 각각 이동한 총 거리의 어림값이며, $L_6$ 은 과대추정이고 $R_6$ 은 과소추정이다. (d) 자동차가 멈추기 전까지 이동했을 수 있는 최대 거리는 $114$ 피트이다. 이는 함수가 구간에서 감소하는 경우 $L_n$ 은 항상 과대추정이기 때문이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분과 급수(구분구적법)계산도전자동 분류