부분분수 적분 연습문제 — CLP-2 · 1.10절 · 6번

CLP-2 · 1.10절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 사실이 있습니다.

분모에 중복된 일차인수 $(ax+b)^n$ 이 있고 분자의 차수가 분모의 차수보다 (엄밀히) 작은 유리함수가 있다고 하자. 부분분수분해에서 다음 항들

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

을 하나의 항

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

으로 바꾸어도 여전히 해를 구할 수 있음이 보장된다.

부분분수분해에서 (2)의 단일 항 대신 (1)의 합을 사용하는 이유는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Here is a fact:

Suppose we have a rational function with a repeated linear factor $(ax+b)^n$ in the denominator, and the degree of the numerator is strictly less than the degree of the denominator. In the partial fraction decomposition, we can replace the terms

$\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+\frac{A_3}{(ax+b)^3}+\cdots+ \frac{A_n}{(ax+b)^n}\tag{1}$

with the single term

$\frac{B_1+B_2x+B_3x^2+\cdots + B_{n}x^{n-1}}{(ax+b)^n}\tag{2}$

and still be guaranteed to find a solution.

Why do we use the sum in (1), rather than the single term in (2), in partial fraction decomposition?

정답·풀이 보기

부분분수분해의 목표는 피적분함수를 적분하기 쉬운 꼴로 쓰는 것이다. (1)의 부정적분은 치환 $u=(ax+b)$ 로 쉽게 구할 수 있다. 반면 (2)의 부정적분은 어떻게 구해야 할지 분명하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

The goal of partial fraction decomposition is to write our integrand in a form that is easy to integrate. The antiderivative of (1) can be easily determined with the substitution $u=(ax+b)$ . It's less clear how to find the antiderivative of (2).

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.10절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수는 뚜렷한 치환이 보이지 않는 유리함수이므로 부분분수분해를 이용한다.

분자의 차수가 분모의 차수보다 확실히 작으므로 긴 나눗셈으로 시작할 필요가 없다.
그러나 분모는 인수분해해야 한다. $x^2$ 은 바로 묶어 낼 수 있고, 나머지는 $x^2-2x+1 = (x-1)^2$ 이다.
이제 부분분수분해를 할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}&= \frac{x^2+2x-1}{x^2(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2} \\ \text{양변에 처음 분모를 곱한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2+B(x-1)^2+Cx^2(x-1)+Dx^2\tag{1} \\ \text{요령껏 $x=0$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ -1&=B \\ \text{또 $x=1$ 을 대입하면 다음을 얻는다:} \\ 2&=D \\ \text{$B$ 와 $D$ 를 이용하여 식 (1)을 간단히 한다.} \\ x^2+2x-1&=Ax(x-1)^2 -1(x-1)^2+Cx^2(x-1)+ 2x^2\\ 0&=Ax(x-1)^2+Cx^2(x-1)\\ &=x(x-1)[(A+C)x-A]\\ \text{따라서,}\qquad 0&=(A+C)x-A \end{aligned}$

즉, $A=C=0$ 이다.

이제 적분의 값을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \int \frac{x^2+2x-1}{x^4-2x^3+x^2}~\mathrm{d}x&=\int \left(\frac{-1}{x^2}+\frac{2}{(x-1)^2}\right)~\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}+C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 부분분수 적분계산기본자동 분류