수치적분 연습문제 — CLP-2 · 1.11절 · 2번

CLP-2 · 1.11절 · 2번대학 수준우리말 번역

아래 그래프에 나타난 함수 $f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle\int_2^{10} f(x)~\mathrm{d}x$ 의 근삿값을 구하는 경우를 생각하자.

(a) $n=4$ 일 때 중점 법칙을 이용한 근삿값에 해당하는 직사각형을 그리세요. (b) 사다리꼴 법칙을 이용한 근삿값과 $n=4$ 에 해당하는 사다리꼴을 그리세요.

근삿값을 구할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

Consider approximating $\displaystyle\int_2^{10} f(x)~\mathrm{d}x$ , where $f(x)$ is the function in the graph below.

(a) Draw the rectangles associated with the midpoint rule approximation and $n=4$ . (b) Draw the trapezoids associated with the trapezoidal rule approximation and $n=4$ .

You don't have to give an approximation.

정답·풀이 보기

중점 법칙:

사다리꼴 법칙:

원본 교재 풀이(영어)

Midpoint rule:

Trapezoidal rule:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.11절 · 3번우리말 번역

$f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ 이라 하자.

(a) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f''(x)| \leq M$ 을 만족시키는 적당한 값 $M$ 을 구하세요. (b) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f^{(4)}(x)| \leq L$ 을 만족시키는 적당한 값 $L$ 을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 미분하면 $f''(x) = -x^2+7x-6$ 임을 알 수 있다. $f''(x)$ 는 이차식이므로 그 그래프의 대략적인 모양을 잘 알 수 있다.

이 식은 $f(x) = -(x-6)(x-1)$ 로 인수분해되므로, 두 근은 $x=6$ 과 $x=1$ 이다.
포물선의 “평평한 부분"은 $x=3.5$ 에 있다( $x=1$ 과 $x=6$ 의 정확히 가운데이기 때문이다. 또는 $f'''(3.5)=0$ 임을 확인해도 된다).
$x^2$ 의 계수가 음수이므로, $f(x)$ 는 $-\infty$ 에서 $3.5$ 까지 증가하고, $3.5$ 에서 $\infty$ 까지 감소한다.

따라서 구간 $[1,6]$ 에서 $f''(x)$ 의 가장 큰 양의 값은 $x=3.5$ 일 때 나타나며, 그 값은 $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ 이다.

그러므로 $M=6.25$ 로 잡는다. (b) 더 미분하면 $f^{(4)}(x)=-2$ 이다. 이것은 어디서나 상수이므로 $L=|-2|=2$ 로 잡는다.

이 문제로 이어서 풀기

# 수치적분그래프·표 해석기본자동 분류