수치적분 연습문제 — CLP-2 · 1.11절 · 3번

CLP-2 · 1.11절 · 3번대학 수준우리말 번역

$f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ 이라 하자.

(a) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f''(x)| \leq M$ 을 만족시키는 적당한 값 $M$ 을 구하세요. (b) 모든 $1 \leq x \leq 6$ 에 대해 $|f^{(4)}(x)| \leq L$ 을 만족시키는 적당한 값 $L$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = -\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{7}{6}x^3-3x^2$ .

(a) Find a reasonable value $M$ such that $|f''(x)| \leq M$ for all $1 \leq x \leq 6$ . (b) Find a reasonable value $L$ such that $|f^{(4)}(x)| \leq L$ for all $1 \leq x \leq 6$ .

정답·풀이 보기

(a) 미분하면 $f''(x) = -x^2+7x-6$ 임을 알 수 있다. $f''(x)$ 는 이차식이므로 그 그래프의 대략적인 모양을 잘 알 수 있다.

이 식은 $f(x) = -(x-6)(x-1)$ 로 인수분해되므로, 두 근은 $x=6$ 과 $x=1$ 이다.
포물선의 “평평한 부분"은 $x=3.5$ 에 있다( $x=1$ 과 $x=6$ 의 정확히 가운데이기 때문이다. 또는 $f'''(3.5)=0$ 임을 확인해도 된다).
$x^2$ 의 계수가 음수이므로, $f(x)$ 는 $-\infty$ 에서 $3.5$ 까지 증가하고, $3.5$ 에서 $\infty$ 까지 감소한다.

따라서 구간 $[1,6]$ 에서 $f''(x)$ 의 가장 큰 양의 값은 $x=3.5$ 일 때 나타나며, 그 값은 $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ 이다.

그러므로 $M=6.25$ 로 잡는다. (b) 더 미분하면 $f^{(4)}(x)=-2$ 이다. 이것은 어디서나 상수이므로 $L=|-2|=2$ 로 잡는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Differentiating, we find $f''(x) = -x^2+7x-6$ . Since $f''(x)$ is quadratic, we have a pretty good idea of what it looks like.

It factors as $f(x) = -(x-6)(x-1)$ , so its two roots are at $x=6$ and $x=1$ .
The “flat part" of the parabola is at $x=3.5$ (since this is exactly half way between $x=1$ and $x=6$ ; alternately, we can check that $f'''(3.5)=0$ ).
Since the coefficient of $x^2$ is negative, $f(x)$ is increasing from $-\infty$ to $3.5$ , then decreasing from $3.5$ to $\infty$ .

Therefore, over the interval $[1,6]$ , the largest positive value of $f''(x)$ occurs when $x=3.5$ , and this is $f''(3.5) = -(3.5-6)(3.5-1)=6.25$ .

So, we take $M=6.25$ . (b) We differentiate further to find $f^{(4)}(x)=-2$ . This is constant everywhere, so we take $L=|-2|=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.11절 · 7번우리말 번역

어머니의 나이는 100세 미만이고, 나의 나이는 200세 미만이라고 하자. (이 이야기는 어딘가로 이어진다.) 누가 더 나이가 많은지 말하세요.

다 풀었으면 정답 확인

어떤 합리적인 가정을 하더라도(내가 어머니보다 나이가 많은 상황을 만들어 내려다 들킨 사람은 최고 보안 등급의 대학원으로 보내질 것이다.) 어머니가 나보다 나이가 많다.

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