이상적분 연습문제 — CLP-2 · 1.12절 · 1번

CLP-2 · 1.12절 · 1번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2-1}~\mathrm{d}x$ 이 이상적분이 되는 $b$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For which values of $b$ is the integral $\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2-1}~\mathrm{d}x$ improper?

정답·풀이 보기

$b= \pm \infty$ 이면 적분 구간의 한 끝이 실수가 아니므로 이 적분은 이상적분이다.

또한 적분 구간이 무한 불연속점 $x=1$ 과 $x=-1$ 중 어느 하나라도 포함하면 이 적분은 이상적분이다. 적분 구간의 한 끝이 0이므로, $b \geq 1$ 이거나 $b \leq -1$ 이면 이상적분이다.

아래에 $\frac{1}{x^2-1}$ 의 그래프를 그려 두었다. 다른 쪽 적분 구간의 끝이 $a=0$ 일 때, $(-1,1)$ 에 속하는 $b$ 의 값만 이상적분이 되지 않는 이유를 이 그래프로 더 분명히 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

If $b= \pm \infty$ , then our integral is improper because one limit is not a real number.

Furthermore, our integral will be improper if its domain of integration contains either of its infinite discontinuities, $x=1$ and $x=-1$ . Since one limit of integration is 0, the integral is improper if $b \geq 1$ or if $b \leq -1$ .

Below, we've graphed $\frac{1}{x^2-1}$ to make it clearer why values of $b$ in $(-1,1)$ are the only values that don't result in an improper integral when the other limit of integration is $a=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.12절 · 7번우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수의 분모는 $x=-1$ 일 때 0이지만 분자는 0이 아니다. 따라서 피적분함수는 $x=-1$ 에서 특이점(무한 불연속)을 가진다. 이것이 이 적분에서 유일한 “이상적분이 되는 원인”이므로, 적분 구간을 한 번만 나누면 된다.

$\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x +\lim_{t\rightarrow -1^+}\int_t^2 \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$

먼저 왼쪽 극한을 살펴보자.

$\begin{aligned} \lim_{t \to -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x &=\lim_{t \to -1^-}\left(\left[-\frac{3}{(x+1)^{1/3}}\right|_{-2}^t\right)\\ &=\lim_{t \to -1^-}\left(-\frac{3}{(t+1)^{1/3}}+\frac{3}{(-1)^{1/3}}\right)=\infty \end{aligned}$

이 극한이 발산하므로 주어진 적분은 발산한다. (두 번째 적분도 비슷한 방법으로 발산함을 보일 수 있다. 둘 중 하나만 발산해도 원래의 적분이 발산한다고 결론짓기에 충분하다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 이상적분계산기본자동 분류