이상적분 연습문제 — CLP-2 · 1.12절 · 7번

CLP-2 · 1.12절 · 7번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine whether the integral $\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$ is convergent or divergent. If it is convergent, find its value.

정답·풀이 보기

피적분함수의 분모는 $x=-1$ 일 때 0이지만 분자는 0이 아니다. 따라서 피적분함수는 $x=-1$ 에서 특이점(무한 불연속)을 가진다. 이것이 이 적분에서 유일한 “이상적분이 되는 원인”이므로, 적분 구간을 한 번만 나누면 된다.

$\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x +\lim_{t\rightarrow -1^+}\int_t^2 \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$

먼저 왼쪽 극한을 살펴보자.

$\begin{aligned} \lim_{t \to -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x &=\lim_{t \to -1^-}\left(\left[-\frac{3}{(x+1)^{1/3}}\right|_{-2}^t\right)\\ &=\lim_{t \to -1^-}\left(-\frac{3}{(t+1)^{1/3}}+\frac{3}{(-1)^{1/3}}\right)=\infty \end{aligned}$

이 극한이 발산하므로 주어진 적분은 발산한다. (두 번째 적분도 비슷한 방법으로 발산함을 보일 수 있다. 둘 중 하나만 발산해도 원래의 적분이 발산한다고 결론짓기에 충분하다.)

원본 교재 풀이(영어)

The denominator of the integrand is zero when $x=-1$ , but the numerator is not. So, the integrand has a singularity (infinite discontinuity) at $x=-1$ . This is the only “source of impropriety" in this integral, so we only need to make one break in the domain of integration.

$\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow -1^-}\int_{-2}^t \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x +\lim_{t\rightarrow -1^+}\int_t^2 \frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\mathrm{d}x$

Let's start by considering the left limit.

Since this limit diverges, the integral diverges. (A similar argument shows that the second integral diverges. Either one of them diverging is enough to conclude that the original integral diverges.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.12절 · 6번우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요.

다 풀었으면 정답 확인

$x=1$ 일 때 분모는 0이지만 분자는 0이 아니므로, 피적분함수는 $x=1$ 에서 특이점(무한 불연속)을 갖는다. 적분 구간의 끝 $x=1$ 을 1에 한없이 가까워지는 문자로 바꾸어 보자.

$\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_0^t\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x$

이 적분의 값을 구하기 위해 $u=x^5$ , $\mathrm{d}u=5x^4\mathrm{d}x$ 로 치환한다. $x=0$ 일 때 $u=0$ 이고, $x=t$ 일 때 $u=t^5$ 이므로

$\begin{aligned} \int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x&=\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t \to 1^-}\int_{u=0}^{u=t^5}\frac{1}{5(u-1)}\,\mathrm{d}u\\ &=\lim_{t \to 1^-}\left( \left[\frac{1}{5}\log|u-1|\right]_0^{t^5}\right) =\lim_{t \to 1^-}\frac{1}{5}\log|t^5-1|=-\infty \end{aligned}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 이상적분계산보통자동 분류