이상적분 연습문제 — CLP-2 · 1.12절 · 2번

CLP-2 · 1.12절 · 2번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2+1}~\mathrm{d}x$ 이 이상적분이 되는 $b$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For which values of $b$ is the integral $\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2+1}~\mathrm{d}x$ improper?

정답·풀이 보기

피적분함수가 모든 실수 $x$ 에서 연속이므로, 이상적분이 될 수 있는 경우는 $b = \pm\infty$ 로 놓는 것뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the integrand is continuous for all real $x$ , the only kind of impropriety available to us is to set $b = \pm\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.12절 · 1번우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2-1}~\mathrm{d}x$ 이 이상적분이 되는 $b$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$b= \pm \infty$ 이면 적분 구간의 한 끝이 실수가 아니므로 이 적분은 이상적분이다.

또한 적분 구간이 무한 불연속점 $x=1$ 과 $x=-1$ 중 어느 하나라도 포함하면 이 적분은 이상적분이다. 적분 구간의 한 끝이 0이므로, $b \geq 1$ 이거나 $b \leq -1$ 이면 이상적분이다.

아래에 $\frac{1}{x^2-1}$ 의 그래프를 그려 두었다. 다른 쪽 적분 구간의 끝이 $a=0$ 일 때, $(-1,1)$ 에 속하는 $b$ 의 값만 이상적분이 되지 않는 이유를 이 그래프로 더 분명히 알 수 있다.

# 이상적분계산기본자동 분류