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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

이상적분

먼저 혼자 풀어 보고, 풀이로 확인한 다음, 아래 「한 번 더」 문제로 이어서 연습하세요.

CLP-2 · 1.12절 · 6번대학 수준우리말 번역

적분 ∫01x4x5−1 dx\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x 의 값을 구하거나, 발산함을 보이세요.

영어 원문 보기

Evaluate the integral ∫01x4x5−1 dx\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x or state that it diverges.

정답·풀이 보기

x=1x=1 일 때 분모는 0이지만 분자는 0이 아니므로, 피적분함수는 x=1x=1 에서 특이점(무한 불연속)을 갖는다. 적분 구간의 끝 x=1x=1 을 1에 한없이 가까워지는 문자로 바꾸어 보자.

∫01x4x5−1 dx=lim⁡t→1−∫0tx4x5−1 dx\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_0^t\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x

이 적분의 값을 구하기 위해 u=x5u=x^5, du=5x4dx\mathrm{d}u=5x^4\mathrm{d}x 로 치환한다. x=0x=0 일 때 u=0u=0 이고, x=tx=t 일 때 u=t5u=t^5 이므로

∫01x4x5−1 dx=lim⁡t→1−∫0tx4x5−1 dx=lim⁡t→1−∫u=0u=t515(u−1) du=lim⁡t→1−([15log⁡∣u−1∣]0t5)=lim⁡t→1−15log⁡∣t5−1∣=−∞\begin{aligned} \int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x&=\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t \to 1^-}\int_{u=0}^{u=t^5}\frac{1}{5(u-1)}\,\mathrm{d}u\\ &=\lim_{t \to 1^-}\left( \left[\frac{1}{5}\log|u-1|\right]_0^{t^5}\right) =\lim_{t \to 1^-}\frac{1}{5}\log|t^5-1|=-\infty \end{aligned}

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

The denominator is zero when x=1x=1, but the numerator is not, so the integrand has a singularity (infinite discontinuity) at x=1x=1. Let's replace the limit x=1x=1 with a variable that creeps toward 1.

∫01x4x5−1 dx=lim⁡t→1−∫0tx4x5−1 dx\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t\rightarrow 1^-}\int_0^t\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x

To evaluate this integral we use the substitution u=x5u=x^5, du=5x4dx\mathrm{d}u=5x^4\mathrm{d}x. When x=0x=0 we have u=0u=0, and when x=tx=t we have u=t5u=t^5, so

∫01x4x5−1 dx=lim⁡t→1−∫0tx4x5−1 dx=lim⁡t→1−∫u=0u=t515(u−1) du=lim⁡t→1−([15log⁡∣u−1∣]0t5)=lim⁡t→1−15log⁡∣t5−1∣=−∞\begin{aligned} \int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x&=\lim_{t \to 1^-}\int_{0}^{t}\frac{x^4}{x^5-1}\,\mathrm{d}x =\lim_{t \to 1^-}\int_{u=0}^{u=t^5}\frac{1}{5(u-1)}\,\mathrm{d}u\\ &=\lim_{t \to 1^-}\left( \left[\frac{1}{5}\log|u-1|\right]_0^{t^5}\right) =\lim_{t \to 1^-}\frac{1}{5}\log|t^5-1|=-\infty \end{aligned}

The limit does not exist, so the integral diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.12절 · 25번우리말 번역

Mn,tM_{n,t} 를 nn 개의 같은 길이의 부분구간으로 나눈 ∫0te−x1+x dx\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x 의 중점 규칙 근삿값이라 하자. Mn,tM_{n,t} 와 ∫0∞e−x1+x dx\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x 의 차가 10−410^{-4} 이하가 되도록 하는 tt 의 값과 nn 의 값을 구하세요. 중점 규칙을 nn 개의 부분구간으로 사용할 때 생기는 오차 EnE_n 은 다음을 만족함을 기억하세요.

∣En∣≤M(b−a)324n2\begin{aligned} |E_n|\le \frac{M(b-a)^3}{24n^2} \end{aligned}

여기서 MM 은 피적분함수의 이계도함수의 절댓값의 최댓값이고, aa 와 bb 는 적분 구간의 양 끝점이다.

다 풀었으면 정답 확인

오차의 원인은 두 가지이다. 하나는 위끝이 무한대가 아니라 tt 라는 것이고, 다른 하나는 유한한 개수 nn 의 구간으로 근사한다는 것이다. 먼저 오차가 1210−4\frac{1}{2}10^{-4} 이하가 되도록 하는 tt 의 값을 찾는다. 즉 ∫t∞e−x1+x dx≤1210−4\int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}~\mathrm{d}x \leq \frac{1}{2}10^{-4} 이 되는 tt 를 찾는다. 그 다음에 ∫0te−xx+1 dx\int_0^t \frac{e^{-x}}{x+1}~\mathrm{d}x 를 1210−4\frac{1}{2}10^{-4} 이내로 근사하는 nn 의 값을 찾는다. 그러면 전체 오차는 최대 1210−4+1210−4=10−4\frac{1}{2}10^{-4} + \frac{1}{2}10^{-4} = 10^{-4} 이 되어 원하는 결과를 얻는다. (오차를 1210−4\frac{1}{2}10^{-4} 과 1210−4\frac{1}{2}10^{-4} 이 아닌 다른 방식으로 나눌 수도 있다. 이렇게 하면 가능한 여러 답 중 하나를 얻게 된다.)

∫t∞e−x1+x dx≤1210−4\int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x\le\frac{1}{2} 10^{-4} 이 되는 tt 를 찾자. 모든 x≥0x\ge 0 에 대해 0<e−x1+x≤e−x0<\frac{e^{-x}}{1+x}\le e^{-x} 이므로

∫t∞e−x1+x dx≤∫t∞e−x dx=e−t≤(∗)1210−4여기서 (∗)는 다음이 성립하면 참이다: t≥−log⁡(1210−4)≈9.90\begin{aligned} \int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x \le \int_t^\infty e^{-x}\ \mathrm{d}x =e^{-t}&\stackrel{(*)}{\le}\frac{1}{2} 10^{-4}\\ \text{여기서 ($*$)는 다음이 성립하면 참이다: }\quad t&\ge -\log\Big(\frac{1}{2} 10^{-4}\Big)\approx 9.90 \end{aligned}

예를 들어 t=10t=10 으로 택한다.

이제 ∫0te−xx+1 dx\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{x+1}~\mathrm{d}x 를 근사하는 데 사용할 구간의 개수를 정하자. 이번에도 오차가 1210−4\frac{1}{2}10^{-4} 보다 작아야 한다. 오차의 한계를 구하려면 e−xx+1\frac{e^{-x}}{x+1} 의 이계도함수를 알아야 한다.

f(x)=e−x1+x  ⟹  f′(x)=−e−x1+x−e−x(1+x)2  ⟹  f′′(x)=e−x1+x+2e−x(1+x)2+2e−x(1+x)3\begin{aligned} f(x)=\frac{e^{-x}}{1+x} \implies f'(x)=-\frac{e^{-x}}{1+x}-\frac{e^{-x}}{(1+x)^2} \implies f''(x)&=\frac{e^{-x}}{1+x}+2\frac{e^{-x}}{(1+x)^2} +2\frac{e^{-x}}{(1+x)^3} \end{aligned}

f′′(x)f''(x) 는 양수이고 xx 가 증가하면 감소하므로

∣f′′(x)∣≤f′′(0)=5  ⟹  ∣En∣≤5(10−0)324n2=500024n2=6253n2\begin{aligned} |f''(x)|\le f''(0) = 5 \implies |E_n|\le\frac{5(10-0)^3}{24n^2}=\frac{5000}{24n^2} =\frac{625}{3n^2} \end{aligned}

이고, 다음이 성립하면 ∣En∣≤1210−4|E_n|\le \frac{1}{2} 10^{-4} 이다.

6253n2≤1210−4  ⟺  n2≥1250×1043  ⟺  n≥1.25×1073≈2041.2\begin{aligned} &&\frac{625}{3n^2}&\le \frac{1}{2} 10^{-4}\\ &\iff\qquad & n^2&\ge \frac{1250\times 10^4}{3}\\ &\iff\quad &n&\ge \sqrt{\frac{1.25\times 10^7}{3}} \approx 2041.2 \end{aligned}

따라서 t=10t=10, n=2042n= 2042 로 하면 된다. 이 밖에도 옳은 답이 많이 있다.

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CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

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