이상적분 연습문제 — CLP-2 · 1.12절 · 25번

CLP-2 · 1.12절 · 25번대학 수준우리말 번역

$M_{n,t}$ 를 $n$ 개의 같은 길이의 부분구간으로 나눈 $\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x$ 의 중점 규칙 근삿값이라 하자. $M_{n,t}$ 와 $\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x$ 의 차가 $10^{-4}$ 이하가 되도록 하는 $t$ 의 값과 $n$ 의 값을 구하세요. 중점 규칙을 $n$ 개의 부분구간으로 사용할 때 생기는 오차 $E_n$ 은 다음을 만족함을 기억하세요.

$\begin{aligned} |E_n|\le \frac{M(b-a)^3}{24n^2} \end{aligned}$

여기서 $M$ 은 피적분함수의 이계도함수의 절댓값의 최댓값이고, $a$ 와 $b$ 는 적분 구간의 양 끝점이다.

영어 원문 보기

Let $M_{n,t}$ be the Midpoint Rule approximation for $\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x$ with $n$ equal subintervals. Find a value of $t$ and a value of $n$ such that $M_{n,t}$ differs from $\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x$ by at most $10^{-4}$ . Recall that the error $E_n$ introduced when the Midpoint Rule is used with $n$ subintervals obeys

$\begin{aligned} |E_n|\le \frac{M(b-a)^3}{24n^2} \end{aligned}$

where $M$ is the maximum absolute value of the second derivative of the integrand and $a$ and $b$ are the end points of the interval of integration.

정답·풀이 보기

오차의 원인은 두 가지이다. 하나는 위끝이 무한대가 아니라 $t$ 라는 것이고, 다른 하나는 유한한 개수 $n$ 의 구간으로 근사한다는 것이다. 먼저 오차가 $\frac{1}{2}10^{-4}$ 이하가 되도록 하는 $t$ 의 값을 찾는다. 즉 $\int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}~\mathrm{d}x \leq \frac{1}{2}10^{-4}$ 이 되는 $t$ 를 찾는다. 그 다음에 $\int_0^t \frac{e^{-x}}{x+1}~\mathrm{d}x$ 를 $\frac{1}{2}10^{-4}$ 이내로 근사하는 $n$ 의 값을 찾는다. 그러면 전체 오차는 최대 $\frac{1}{2}10^{-4} + \frac{1}{2}10^{-4} = 10^{-4}$ 이 되어 원하는 결과를 얻는다. (오차를 $\frac{1}{2}10^{-4}$ 과 $\frac{1}{2}10^{-4}$ 이 아닌 다른 방식으로 나눌 수도 있다. 이렇게 하면 가능한 여러 답 중 하나를 얻게 된다.)

$\int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x\le\frac{1}{2} 10^{-4}$ 이 되는 $t$ 를 찾자. 모든 $x\ge 0$ 에 대해 $0<\frac{e^{-x}}{1+x}\le e^{-x}$ 이므로

$\begin{aligned} \int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x \le \int_t^\infty e^{-x}\ \mathrm{d}x =e^{-t}&\stackrel{(*)}{\le}\frac{1}{2} 10^{-4}\\ \text{여기서 ($*$)는 다음이 성립하면 참이다: }\quad t&\ge -\log\Big(\frac{1}{2} 10^{-4}\Big)\approx 9.90 \end{aligned}$

예를 들어 $t=10$ 으로 택한다.

이제 $\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{x+1}~\mathrm{d}x$ 를 근사하는 데 사용할 구간의 개수를 정하자. 이번에도 오차가 $\frac{1}{2}10^{-4}$ 보다 작아야 한다. 오차의 한계를 구하려면 $\frac{e^{-x}}{x+1}$ 의 이계도함수를 알아야 한다.

$\begin{aligned} f(x)=\frac{e^{-x}}{1+x} \implies f'(x)=-\frac{e^{-x}}{1+x}-\frac{e^{-x}}{(1+x)^2} \implies f''(x)&=\frac{e^{-x}}{1+x}+2\frac{e^{-x}}{(1+x)^2} +2\frac{e^{-x}}{(1+x)^3} \end{aligned}$

$f''(x)$ 는 양수이고 $x$ 가 증가하면 감소하므로

$\begin{aligned} |f''(x)|\le f''(0) = 5 \implies |E_n|\le\frac{5(10-0)^3}{24n^2}=\frac{5000}{24n^2} =\frac{625}{3n^2} \end{aligned}$

이고, 다음이 성립하면 $|E_n|\le \frac{1}{2} 10^{-4}$ 이다.

$\begin{aligned} &&\frac{625}{3n^2}&\le \frac{1}{2} 10^{-4}\\ &\iff\qquad & n^2&\ge \frac{1250\times 10^4}{3}\\ &\iff\quad &n&\ge \sqrt{\frac{1.25\times 10^7}{3}} \approx 2041.2 \end{aligned}$

따라서 $t=10$ , $n= 2042$ 로 하면 된다. 이 밖에도 옳은 답이 많이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

There are two sources of error: the upper bound is $t$ , rather than infinity, and we're using an approximation with some finite number of intervals, $n$ . Our plan is to first find a value of $t$ that introduces an error of no more than $\frac{1}{2}10^{-4}$ . That is, we'll find a value of $t$ such that $\int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}~\mathrm{d}x \leq \frac{1}{2}10^{-4}$ . After that, we'll find a value of $n$ that approximates $\int_0^t \frac{e^{-x}}{x+1}~\mathrm{d}x$ to within $\frac{1}{2}10^{-4}$ . Then, all together, our error will be at most $\frac{1}{2}10^{-4} + \frac{1}{2}10^{-4} = 10^{-4}$ , as desired. (Note we could have broken up the error in another way—it didn't have to be $\frac{1}{2}10^{-4}$ and $\frac{1}{2}10^{-4}$ . This will give us one of many possible answers.)

Let's find a $t$ such that $\int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x\le\frac{1}{2} 10^{-4}$ . For all $x\ge 0$ , $0<\frac{e^{-x}}{1+x}\le e^{-x}$ , so

$\begin{aligned} \int_t^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\ \mathrm{d}x \le \int_t^\infty e^{-x}\ \mathrm{d}x =e^{-t}&\stackrel{(*)}{\le}\frac{1}{2} 10^{-4}\\ \text{where ($*$) is true if }\quad t&\ge -\log\Big(\frac{1}{2} 10^{-4}\Big)\approx 9.90 \end{aligned}$

Choose, for example, $t=10$ .

Now it's time to decide how many intervals we're going to use to approximate $\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{x+1}~\mathrm{d}x$ . Again, we want our error to be less than $\frac{1}{2}10^{-4}$ . To bound our error, we need to know the second derivative of $\frac{e^{-x}}{x+1}$ .

$\begin{aligned} f(x)=\frac{e^{-x}}{1+x} \implies f'(x)=-\frac{e^{-x}}{1+x}-\frac{e^{-x}}{(1+x)^2} \implies f''(x)&=\frac{e^{-x}}{1+x}+2\frac{e^{-x}}{(1+x)^2} +2\frac{e^{-x}}{(1+x)^3} \end{aligned}$

Since $f''(x)$ is positive, and decreases as $x$ increases,

$\begin{aligned} |f''(x)|\le f''(0) = 5 \implies |E_n|\le\frac{5(10-0)^3}{24n^2}=\frac{5000}{24n^2} =\frac{625}{3n^2} \end{aligned}$

and $|E_n|\le \frac{1}{2} 10^{-4}$ if

$\begin{aligned} &&\frac{625}{3n^2}&\le \frac{1}{2} 10^{-4}\\ &\iff\qquad & n^2&\ge \frac{1250\times 10^4}{3}\\ &\iff\quad &n&\ge \sqrt{\frac{1.25\times 10^7}{3}} \approx 2041.2 \end{aligned}$

So $t=10$ and $n= 2042$ will do the job. There are many other correct answers.

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.12절 · 27번우리말 번역

참 또는 거짓: $x \geq 1$ 인 어떤 실수 $x$ 가 존재하여 $\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t}~\mathrm{d}t = 1$ 이다.

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$F(x)= \int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t$ 라 하자.

$\begin{aligned} F(x)=\int_0^x \frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t&=\left[-\frac{1}{e^{t}}\right]_0^x = \frac{1}{e^0}-\frac{1}{e^{x}}<\frac{1}{e^0}=1 \end{aligned}$

따라서 주어진 명제는 거짓이다. $F(x)=1$ 인 $x$ 는 존재하지 않는다. 모든 실수 $x$ 에 대해 $F(x) < \frac{1}{e^0}=1$ 이다.

여기서 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \int_0^x\frac{1}{e^{t}}\mathrm{d}t=1$ 임에 주목하자. 즉 $x$ 가 커질수록 $F(x)$ 와 1 의 차는 한없이 작아진다. 그러나 $F(x)$ 가 정확히 1 과 같아지는 실수 $x$ 의 값은 없다.

이 문제로 이어서 풀기

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