이상적분 연습문제 — CLP-2 · 1.12절 · 10번

CLP-2 · 1.12절 · 10번대학 수준우리말 번역

적분 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x$ 은 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Does the integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x$ converge or diverge? If it converges, evaluate it.

정답·풀이 보기

“이상적분이 되는 원인”이 두 가지 있다. 바로 (무한대인) 두 적분 구간의 끝이다. 따라서 적분을 두 부분으로 나눈다.

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^0 \cos x~\mathrm{d}x+\int_{0}^\infty \cos x~\mathrm{d}x\\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\int_{-a}^0 \cos x~\mathrm{d}x\right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\int_{0}^b \cos x~\mathrm{d}x\right] \\ \text{이 정도는 부정적분을 쉽게 구할 수 있다.} \\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\sin 0 - \sin(- a) \right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\sin b - \sin 0 \right]\\ &=\text{존재하지 않는다} \end{aligned}$

극한이 존재하지 않으므로 이 적분은 발산한다. (여기서는 두 극한이 모두 존재하지 않지만, 둘 중 하나만 존재하지 않더라도 이 적분은 발산한다.)

원본 교재 풀이(영어)

There are two “sources of impropriety": the two (infinite) limits of integration. So, we break our integral into two pieces.

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \cos x~\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^0 \cos x~\mathrm{d}x+\int_{0}^\infty \cos x~\mathrm{d}x\\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\int_{-a}^0 \cos x~\mathrm{d}x\right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\int_{0}^b \cos x~\mathrm{d}x\right] \\ \text{These are easy enough to antdifferentiate.} \\ &=\lim_{a \to \infty }\left[\sin 0 - \sin(- a) \right]+ \lim_{b \to \infty }\left[\sin b - \sin 0 \right]\\ &=\text{DNE} \end{aligned}$

Since the limits don't exist, the integral diverges. (It happens that both limits don't exist; even if only one failed to exist, the integral would still diverge.)

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.12절 · 17번우리말 번역

직선 $y = \dfrac{1}{x\vphantom{\frac{1}{2}}}$ 의 $x=a$ 부터 $x=1$ 까지의 부분을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 부부젤라 모양의 키 큰 입체를 만든다. 여기서 $a$ 는 0과 1 사이의 어떤 상수이다.

참 또는 거짓: 상수 $M$ 이 아무리 크더라도, 부피가 $M$ 보다 큰 입체를 만드는 $a$ 의 값이 존재한다.

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입체의 부피를 구하기 위해, 입체를 얇은 원판 모양의 가로 단면으로 자른다. 높이 $y$ 에서 원판의 반지름은 $x=\frac{1}{y}$ 이고 두께는 $\mathrm{d}y$ 이므로, 그 부피는 $\frac{\pi}{y^2}\mathrm{d}y$ 이다. 입체의 밑면은 높이 $y=1$ 에 있고, 꼭대기는 높이 $y=\frac{1}{a}$ 에 있다. 따라서 입체 전체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_1^{1/a} \frac{\pi}{y^2}\mathrm{d}y = \left[-\frac{\pi}{y}\right]_1^{1/a} = \pi (1-a) \end{aligned}$

$a$ 를 0에 점점 더 가깝게 하면 부피는 커져서 $\pi$ 단위에 점점 가까워지지만, 결코 $\pi$ 에 이르지는 못한다.

따라서 주어진 명제는 거짓이다. 예를 들어 $M=4$ 로 두면, 어떤 $a$ 를 택하더라도 이 입체의 부피는 $M$ 보다 확실히 작다.

참고: 앞에서 $\int_0^1 \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 가 발산함을 보았다. $a=0$ 으로 택했을 때 만들어질 입체를 생각하면, 그 부피는 겨우 $\pi$ 세제곱 단위에 불과하지만, 그 실루엣(옆에서 본 모양)의 넓이는 무한하다.

이 문제로 이어서 풀기

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