적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 4번

CLP-2 · 1.13절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저, 이 적분은 이상적분임에 주목한다. 따라서 위끝을 문자로 바꾸고 극한을 취해야 한다. 다음으로, 부정적분을 구해야 한다. 피적분함수는 지수함수 $e^{-x}$ 와 다항식 $x-1$ 의 곱이므로, $u=x-1$ , $\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}u$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ , $v = -e^{-x}$ 로 놓고 부분적분을 한다.

$\begin{aligned} \int \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x&=-(x-1)e^{-x} + \int e^{-x}~\mathrm{d}x \\&=-(x-1)e^{-x} -e^{-x}+C =-xe^{-x}+C\\ \text{따라서,}\qquad\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x & = \lim_{b \to \infty}\int_0^b \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x\\ & = \lim_{b \to \infty}\left[-\frac{x}{e^x}\right]_0^b = \lim_{b \to \infty}\bigg[-\underbrace{\frac{b}{e^b}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\bigg]\\ & \stackrel{(*)}{=} \lim_{b \to \infty}-\frac{1}{e^b}=0 \end{aligned}$

( $*$ 로 표시한 등식에서는 로피탈 정리를 사용하였다.)

따라서 $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x=0$ 이다.

참고: 이로부터 흥미롭게도 $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x}{e^x}~\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{1}{e^x}~\mathrm{d}x$ 임을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we note the integral is improper. So, we'll need to replace the top bound with a variable, and take a limit. Second, we're going to have to antidifferentiate. The integrand is the product of an exponential function, $e^{-x}$ , with a polynomial function, $x-1$ , so we use integration by parts with $u=x-1$ , $\mathrm{d}v=e^{-x}\mathrm{d}u$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ , and $v = -e^{-x}$ .

$\begin{aligned} \int \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x&=-(x-1)e^{-x} + \int e^{-x}~\mathrm{d}x \\&=-(x-1)e^{-x} -e^{-x}+C =-xe^{-x}+C\\ \text{So,}\qquad\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x & = \lim_{b \to \infty}\int_0^b \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x\\ & = \lim_{b \to \infty}\left[-\frac{x}{e^x}\right]_0^b = \lim_{b \to \infty}\bigg[-\underbrace{\frac{b}{e^b}}_{\genfrac{}{}{0in}{}{\mathrm{num}\to\infty}{\mathrm{den}\to\infty}}\bigg]\\ & \stackrel{(*)}{=} \lim_{b \to \infty}-\frac{1}{e^b}=0 \end{aligned}$

(In the equality marked ( $*$ ), we used l'Hopital's rule.)

So, $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x-1}{e^x}~\mathrm{d}x=0$ .

Remark: this shows that, interestingly, $\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x}{e^x}~\mathrm{d}x=\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{1}{e^x}~\mathrm{d}x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 35번우리말 번역

$\displaystyle\int \sqrt{\frac{x}{1-x}}~\mathrm{d}x$ 를 구하세요.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

어디서부터 시작해야 할지 바로 분명하지는 않지만, 특히 제곱근이 포함되어 있을 때는 분모를 $u$ -치환에 이용하는 것이 우리가 지금까지 본 일반적인 방법이다.

$u = \sqrt{1-x}$ , $\mathrm{d}u = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\mathrm{d}x$ 라 하자. 그러면 $u^2=1-x$ 이므로 $x = 1-u^2$ 이다.

$\begin{aligned} \int \sqrt{\frac{x}{1-x}}~\mathrm{d}x&=2\int \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{1-x}}~\mathrm{d}x =- 2\int\sqrt{1-u^2}~\mathrm{d}u \\ \text{이제 익숙한 상황으로 돌아왔다. $u=\sin \theta$, $\mathrm{d}u=\cos \theta~\mathrm{d}\theta$ 로 놓자.} \\ &=-2\int\sqrt{1-\sin^2 \theta }\cos\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=-2\int\cos^2\theta~\mathrm{d}\theta\\ &=-\int \big(1+\cos(2\theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=-\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)+C\\ &=-\theta - \sin\theta\cos\theta+C\\ &=-\arcsin u - u\sqrt{1-u^2}+C \tag{$*$}\\ \smash{ ![그림](clp/tikz/a3eaf2cde9.png) }\,&=-\arcsin (\sqrt{1-x})-\sqrt{1-x}\sqrt{x}+C \end{aligned}$

( $*$ )에서 $\theta$ 를 $u$ 로 바꾸기 위해, 치환 $u=\sin\theta$ 로부터 $\theta = \arcsin u$ 임을 알 수 있다. $\cos \theta$ 를 구하려면, 풀이 과정을 거꾸로 따라가 이미 $\sqrt{1-u^2}$ 을 $\cos\theta$ 로 간단히 했음을 확인하거나, 한 각이 $\theta$ 이고 $\sin \theta=u$ 인 직각삼각형을 그린 다음 피타고라스 정리를 이용하여 이 삼각형의 밑변의 길이와 $\cos\theta$ 를 구하면 된다.

이 문제로 이어서 풀기

# 적분 전략 고르기계산보통자동 분류