적분 전략 고르기

치환 $u=e^x$ 을 사용하자. 이것이 좋은 선택이라고 생각할 만한 이유가 몇 가지 있다. 이것은 “안쪽 함수”이다. $f(x)=e^x$ 라 하면 $f(e^x)=e^{e^x}$ 이고, 이는 피적분함수의 일부이기 때문이다. 또 $e^{2x}=e^x\cdot e^x$ 이므로, 그 도함수 $e^x$ 가 피적분함수의 나머지 부분에 곱해져 있다.

$u=e^x$ 라 하면 $\mathrm{d}u = e^x\mathrm{d}x$ 이다. $x=0$ 일 때 $u=1$ 이고, $x=1$ 일 때 $u=e$ 이다.

$$\begin{aligned} \displaystyle\int_0^1e^{2x}e^{e^x}\mathrm{d}x &= \int_0^1e^{x}e^{e^x}e^x\mathrm{d}x =\int_1^e ue^u~\mathrm{d}u \\ \text{이제 더 익숙한 꼴이다. $\mathrm{d}v = e^u~\mathrm{d}u$, $v=e^u$ 으로 놓고 부분적분을 사용한다. 마침 치환에서 도입한 ``$u$"를 부분적분의 ``$u$"로 그대로 쓰면 되므로, 변수의 이름을 바꿀 필요가 없다.} \\ &=\big[ue^u\big]_1^e - \int_1^e e^u~\mathrm{d}u\\ &=e\cdot e^e-e-e^e+e=e^e(e-1) \end{aligned}$$