적분 전략 고르기

(a) $u=\log x$, $\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분하면, $\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$ 이고 $v=\tfrac{1}{2} x^2$ 이다.

$$\begin{aligned} \int x\,\log x\ \mathrm{d}x= \frac{1}{2} x^2\log x- \frac{1}{2} \int x^2\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2} x^2\log x -\frac{1}{4} x^2+C \end{aligned}$$

(b) 분모가 더 이상 인수분해되지 않는 이차식이므로 부분분수로는 더 나아갈 수 없다. 분모가 이차식인 함수를 적분하려면, 분자를 나누어 한 부분은 $u$-치환으로 계산하고 다른 부분은 아크탄젠트 꼴이 되게 한다.

$$\begin{aligned} \int\frac{(x-1)\mathrm{d}x}{x^2+4x+5} &=\int\frac{x+2-3}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x -\int\frac{3}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4}{x^2+4x+5}\mathrm{d}x-3\int\frac{1}{(x+2)^2+1}\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{2} \log [x^2+4x+5] -3\arctan(x+2)+C \end{aligned}$$

마지막 단계에서는 부정적분을 추측하여 구해도 되고, 두 적분에 각각 $u_1=x^2+4x+5$ 와 $u_2=x+2$ 로 치환해도 된다.

(c) 부분분수를 이용한다.

$$\begin{aligned} \frac{1}{x^2-4x+3} &=\frac{1}{(x-3)(x-1)} =\frac{a}{x-3}+\frac{b}{x-1}\\ 1&=a(x-1)+b(x-3) \end{aligned}$$

$x=3$ 을 대입하면 $a=\frac{1}{2}$ 이다. $x=1$ 을 대입하면 $b=-\frac{1}{2}$ 이다. 따라서

$$\begin{aligned} \int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-4x+3} =\int\Big(\frac{ 1/2}{x-3} -\frac{ 1/2}{x-1}\Big)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\log|x-3|-\frac{1}{2}\log|x-1|+C \end{aligned}$$

(d) $y=x^3$, $\mathrm{d}y=3x^2\,\mathrm{d}x$ 로 치환한다.

$$\begin{aligned} \int\frac{x^2\,\mathrm{d}x}{1+x^6}= \frac{1}{3} \int \frac{\mathrm{d}y}{1+y^2} = \frac{1}{3}\arctan y+C =\frac{1}{3}\arctan x^3 +C \end{aligned}$$