적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 22번

CLP-2 · 1.13절 · 22번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

풀이 1: 치환 $u=x-1$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 를 이용하자.

$\begin{aligned} \int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x&=\int(u+1)\sqrt{u}~\mathrm{d}u\\ &=\int \left(u^{3/2}+u^{1/2}\right)~\mathrm{d}u\\ &=\frac{2}{5}u^{5/2} + \frac{2}{3}u^{3/2}+C\\ &=\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}+C \end{aligned}$

풀이 2: 피적분함수는 $x$ 에 적분할 수 있는 어떤 식이 곱해진 꼴이다. 따라서 $u=x$ , $\mathrm{d}v = \sqrt{x-1}~\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분을 이용하면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ (즉, $x$ 가 없어진다)이고 $v = \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}$ 이다.

$\begin{aligned} \int x\sqrt{x-1}~\mathrm{d}x&=\frac{2}{3}x\sqrt{x-1}^3 - \frac{2}{3}\int(x-1)^{3/2}\mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3}x\sqrt{x-1}^3 - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}(x-1)^{5/2}\right)+C\\ &=\frac{2}{3}\sqrt{x-1}\left(x(x-1)-\frac{2}{5}(x-1)^2\right)+C\\ &=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}\cdot(3x^2-x-2)+C\\ &=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}\cdot(3(x^2-2x+1)+5x-5)+C\\ &=\frac{2}{15}\sqrt{x-1}\cdot(3(x-1)^2+5(x-1))+C\\ &=\frac{2}{15}\cdot 3\sqrt{x-1}^5 +\frac{2}{15}\cdot 5\sqrt{x-1}^3+C\\ &=\frac{2}{5}\sqrt{x-1}^5 +\frac{2}{3}\sqrt{x-1}^3+C \end{aligned}$

지금까지 두 가지 풀이를 살펴보았다. 다른 풀이도 있다. 예를 들어 치환 $u=\sqrt{x-1}$ 을 이용할 수도 있다. 또 다른 예로, 다음과 같이 쓸 수도 있다.

$x\sqrt{x-1} = (x-1)\sqrt{x-1} +\sqrt{x-1} = (x-1)^{3/2} + (x-1)^{1/2}$

그런 다음 도함수가 $(x-1)^{3/2}$ 인 함수와 도함수가 $(x-1)^{1/2}$ 인 함수를 각각 짐작하여 구하면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: Let's use the substitution $u=x-1$ , $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ .

Solution 2: We have an integrand with $x$ multiplied by something integrable. So, if we use integration by parts with $u=x$ and $\mathrm{d}v = \sqrt{x-1}~\mathrm{d}x$ , then $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ (that is, the $x$ goes away) and $v = \frac{2}{3}(x-1)^{3/2}$ .

We have just seen two solutions. There are other solutions too. For example, one could use the substitution $u=\sqrt{x-1}$ . Or, as another example, one could write

$x\sqrt{x-1} = (x-1)\sqrt{x-1} +\sqrt{x-1} = (x-1)^{3/2} + (x-1)^{1/2}$

and just guess a function whose derivative is $(x-1)^{3/2}$ and a function whose derivative is $(x-1)^{1/2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 32번우리말 번역

다음 값을 구하세요. $\displaystyle\int_{0.1}^{0.2} \frac{\tan x}{\log(\cos x)}\, \mathrm{d}x$ .

다 풀었으면 정답 확인

$\int_{0.1}^{0.2} \frac{\tan x}{\log(\cos x)} \mathrm{d}x$

이 문제는 어떻게 풀어야 할지 바로 떠오르지 않을 수 있다. 그러므로 이것은 통하지 않는 방법을 찾았다고 낙담해서는 안 되는 적분의 또 다른 예이다. 지금까지 우리에게 효과가 있었던 방법 하나는 분모를 $u$ 로 놓는 치환을 쓰는 것이다. 이를 염두에 두고 분모의 도함수를 구해 보자. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\log(\cos x)\right\}= \frac{1}{\cos x}\cdot (-\sin x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$

따라서 $u=\log(\cos x$ )로 놓으면 $-\mathrm{d}u=\tan x \mathrm{d}x$ 이므로 치환에 쓸 수 있다.

$\begin{aligned} \int_{0.1}^{0.2} \frac{\tan x}{\log(\cos x)} \mathrm{d}x&= \int_{\log(\cos(0.1))}^{\log(\cos(0.2))} \frac{-\mathrm{d}u}{u}\\ &=\Big[-\log|u|\Big]_{\log(\cos(0.1))}^{\log(\cos(0.2))} \\ &= -\log|\log(\cos 0.2)|+\log|\log(\cos 0.1)|\\ &={\log\left|\frac{\log(\cos(0.1))}{\log(\cos(0.2))}\right|}\\&= \log\left(\frac{\log(\cos(0.1))}{\log(\cos(0.2))}\right) \end{aligned}$

주목할 점: 피적분함수는 $\log(\cos x)$ 가 존재하고 0이 아닐 때에만 정의된다. 예를 들어 $x=0$ 일 때는 $\log\cos x = \log1=0$ 이 되어 0으로 나눌 수 없으므로 정의되지 않는다.

마지막 정리에서 $0.1$ 과 $0.2$ 는 0과 $\pi/2$ 사이에 있으므로 코사인 값은 양수이면서 1보다 작다. 따라서 $\log(\cos 0.1)$ 과 $\log(\cos 0.2)$ 는 모두 음수이고, 그 몫은 양수이므로 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

밑 변환 공식을 쓰면 최종 답을 $\log\left(\log_{\cos (0.2)}\cos(0.1)\right)$ 로도 나타낼 수 있다.

이 문제로 이어서 풀기

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