적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 31번

CLP-2 · 1.13절 · 31번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int_1^e \frac{\log\sqrt{x}}{{x}}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\int_1^e \frac{\log\sqrt{x}}{{x}}\,\mathrm{d}x$ .

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풀이 1: 로그의 성질에 의해 $\log\sqrt{x} = \log\left(x^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\log x$ 이므로 다음과 같이 간단히 할 수 있다: $\int_1^e \frac{\log\sqrt{x}}{{x}}\mathrm{d}x =\int_1^e \frac{\log{x}}{{2x}}\mathrm{d}x$

치환 $u=\log x$ , $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$\begin{aligned} \int_1^e \frac{\log{x}}{{2x}}\mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int_1^e \underbrace{\log(x)}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}\\ &=\frac{1}{2}\int_{\log(1)}^{\log(e)}u\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u\,\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}u^2\right]_0^1\\ &=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-0\right]=\dfrac{1}{4} \end{aligned}$

풀이 2: 치환 $u=\log\sqrt{x}$ 를 사용한다. 그러면 $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2x}$ 이므로 $2\mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$ 이다. 이는 주어진 적분에 딱 맞는다!

$\begin{aligned} \int_1^e\frac{\log\sqrt{x}}{x}\mathrm{d}x &= \int_{\log\sqrt{1}}^{\log\sqrt{e}}u\cdot 2\mathrm{d}u \\ &=\Big[u^2\Big]_{0}^{1/2}\\ &=\left(\frac{1}{2}\right)^2-0^2=\frac{1}{4} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: Using logarithm rules, $\log\sqrt{x} = \log\left(x^{1/2}\right)=\frac{1}{2}\log x$ , so we can simplify: $\int_1^e \frac{\log\sqrt{x}}{{x}}\mathrm{d}x =\int_1^e \frac{\log{x}}{{2x}}\mathrm{d}x$

We use the substitution $u=\log x$ , $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$ :

Solution 2: We use the substitution $u=\log\sqrt{x}$ . Then $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2x}$ , hence $2\mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x$ . This fits our integral nicely!

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 26번우리말 번역

$\displaystyle\int\frac{1}{x^2+x+1}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

분모가 $x^2+1$ 이라면 부정적분은 아크탄젠트가 될 것이다. 그러므로 완전제곱식을 이용하여, 어떤 $u$ 에 대해 분수가 $\dfrac{1}{u^2+1}$ 꼴이 되도록 하자. 이는 상수 아래에 있는 기약 이차식을 적분할 때 좋은 방법이다.

$\begin{aligned} \\ \text{첫째: 완전제곱식을 만든다} \\ \int\frac{1}{x^2+x+1}\mathrm{d}x&= \int\frac{1}{x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x = \int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\mathrm{d}x \\ \text{둘째: 분모를 $u^2+1$ 꼴로 만든다. 이를 위해 상수를 조정해야 한다} \\ &=\int\left(\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\right)\left(\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}\right)\mathrm{d}x\\ &=\frac{4}{3}\int\frac{1}{\frac{4}{3}\cdot\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}\mathrm{d}x \\ \text{이제 분모의 앞부분을 다시 어떤 것의 제곱 꼴로 만들기 위해 살짝 고친다:} \\ &=\frac{4}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}\mathrm{d}x \\ \text{이제 $u=\dfrac{2}{\sqrt{3}}x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, $\mathrm{d}u=\dfrac{2}{\sqrt3}\mathrm{d}x$ 로 놓으면 됨을 알 수 있다} \\ &=\frac{4}{3}\int\frac{1}{u^2+1}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{d}u =\frac{2}{\sqrt3}\int\frac{1}{u^2+1}\mathrm{d}u\\ &=\frac{2}{\sqrt3}\arctan u +C\\ &=\frac{2}{\sqrt3}\arctan\left(\frac{2}{\sqrt3}x+\frac{1}{\sqrt3}\right) +C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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