적분 전략 고르기 연습문제 — CLP-2 · 1.13절 · 38번

CLP-2 · 1.13절 · 38번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle\int \frac{x\sin x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

$\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ 임을 이용해도 됩니다.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \frac{x\sin x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x$ .

You may use that $\int \sec x\mathrm{d}x = \log|\sec x+\tan x| +C$ .

정답·풀이 보기

$u=x$ 로 놓고 부분적분을 하면 좋겠다. 그러면 $\int v~\mathrm{d}u$ 를 적분하게 되는데 $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ 이기 때문이다. 즉 $x$ 가 사라지고 삼각함수만 있는 적분이 남는다. $u=x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}v = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 이다. $v$ 를 구해야 한다.

$\begin{aligned} v&=\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}~\mathrm{d}x = \int \tan x \sec x~\mathrm{d}x = \sec x \\ \text{이제 부분적분을 이용한다.} \\ \int \frac{x\sin x}{\cos^2 x}\mathrm{d}x&=x\sec x - \int \sec x ~\mathrm{d}x= x\sec x - \log|\sec x + \tan x|+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

It would be nice to use integration by parts with $u=x$ , because then we would integrate $\int v~\mathrm{d}u$ , and $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ . That is, the $x$ would go away, and we'd be left with a pure trig integral. If we use $u=x$ , then $\mathrm{d}v = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ . We need to find $v$ :

$\begin{aligned} v&=\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}~\mathrm{d}x = \int \tan x \sec x~\mathrm{d}x = \sec x \\ \text{Now we use integration by parts.} \\ \int \frac{x\sin x}{\cos^2 x}\mathrm{d}x&=x\sec x - \int \sec x ~\mathrm{d}x= x\sec x - \log|\sec x + \tan x|+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.13절 · 8번우리말 번역

다음 적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle\int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\mathrm{d}x$ (c) $\displaystyle\int_1^{e}x^3\log x\,\mathrm{d}x$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

다 풀었으면 정답 확인

(a) 제곱근 안에 이차식이 있으면 흔히 삼각함수 치환을 떠올리지만, 이 경우에는 더 쉬운 치환이 있다. 구체적으로 $y=9+x^2$ 이라 하자. 그러면 $\mathrm{d}y=2x\mathrm{d}x,\ x\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{2},\ y(0)=9$ 이고 $y(4)=25$ 이다.

$\begin{aligned} \int_0^4\frac{x}{\sqrt{9+x^2}}\,\mathrm{d}x &=\int_9^{25}\frac{1}{\sqrt{y}}\,\frac{\mathrm{d}y}{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{y}}{1/2}\Big|_9^{25} =5-3= 2 \end{aligned}$

(b) 코사인의 지수가 홀수이므로, 코사인 하나는 미분 요소로 남겨 두고 나머지는 사인으로 바꿀 수 있다. $y=\sin x,$ $\mathrm{d}y=\cos x$ , $\mathrm{d}x,$ $y(0)=0,$ $y(\pi/2)=1,$ $\cos^2x=1-y^2$ 으로 치환하면 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos^3x\ \sin^2x\,\mathrm{d}x &=\int_0^{\pi/2}\cos^2x\ \sin^2x\ \cos x\,\mathrm{d}x =\int_0^1\!(1-y^2)y^2\,\mathrm{d}y =\int_0^1(y^2-y^4)\,\mathrm{d}y \\ &=\bigg[\frac{y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\bigg]_0^1 =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} \\ &= \frac{2}{15} \end{aligned}$

(c) 피적분함수는 서로 다른 종류의 두 함수의 곱이며, 뚜렷한 치환이나 간단히 하는 방법이 없다. $\log x$ 를 미분하면 피적분함수의 나머지 부분의 다항식 꼴과 더 잘 맞는다. 따라서 $u(x)=\log x$ , $\mathrm{d}v=x^3\,\mathrm{d}x$ 로 놓고 부분적분하면 $\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 이고 $v=x^4/4$ 이다.

$\begin{aligned} \int_1^{e}x^3\log x\,\mathrm{d}x &=\frac{x^4}{4}\log x\bigg|_1^e -\int_1^{e}\frac{x^4}{4}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\frac{e^4}{4}-\int_1^{e}\frac{x^3}{4}\,\mathrm{d}x =\frac{e^4}{4}-\frac{x^4}{16}\bigg|_1^e \\ &=\frac{3e^4}{16}+\frac{1}{16} \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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