정적분의 뜻과 성질 연습문제 — CLP-2 · 1.2절 · 15번

CLP-2 · 1.2절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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Evaluate $\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ .

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피적분함수 $f(x)=(x-3)^3$ 은 우함수도 기함수도 아니다. 그러나 이와 비슷한 대칭성을 가진다. 즉, $f(3+x)=-f(3-x)$ 이다. 따라서 $f$ 는 직선 $x=3$ 에 대해 "음의 대칭"이다. 이로부터 적분값이 0이 되리라고 짐작할 수 있다. $x=3$ 의 오른쪽에 있는 양의 넓이는 $x=3$ 의 왼쪽에 있는 음의 넓이와 같기 때문이다.

이를 확인하는 또 다른 방법은 $f(x)=(x-3)^3$ 의 그래프가 $g(x)=x^3$ 의 그래프를 오른쪽으로 3만큼 평행이동한 것과 같고, $g(x)$ 는 기함수라는 점에 주목하는 것이다. 따라서 $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand $f(x)=(x-3)^3$ is neither even nor odd. However, it does have a similar symmetry. Namely, $f(3+x)=-f(3-x)$ . So, $f$ is “negatively symmetric" across the line $x=3$ . This suggests that the integral should be 0: the positive area to the right of $x=3$ will be the same as the negative area to the left of $x=3$ .

Another way to see this is to notice that the graph of $f(x)=(x-3)^3$ is equivalent to the graph of $g(x)=x^3$ shifted three units to the right, and $g(x)$ is an odd function. So, $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.2절 · 20번우리말 번역

우함수의 도함수는 우함수인가요, 기함수인가요? 기함수의 도함수는 우함수인가요, 기함수인가요?

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: $f(x)$ 가 기함수라 하자. 합성함수의 미분법을 이용하여 $f'(x)$ 를 알아본다.

$\begin{aligned} f(-x)&=-f(x)& \text{(기함수)}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(-x)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-f(x)\}\\ -f'(-x)&=-f'(x) & \text{(합성함수의 미분법)}\\ f'(-x)&=f'(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 가 기함수이면 $f'(x)$ 는 우함수이다.

마찬가지로 $f(x)$ 가 우함수라 하자.

$\begin{aligned} f(-x)&=f(x)& \text{(우함수)}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(-x)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\\ -f'(-x)&=f'(x) & \text{(합성함수의 미분법)}\\ f'(-x)&=-f'(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 가 우함수이면 $f'(x)$ 는 기함수이다.

풀이 2: 이 문제를 생각하는 다른 방법은 함수를 “뒤집으면" 도함수의 부호가 바뀐다는 점에 주목하는 것이다. 우함수는 ( $y$ 축에 대해) “한 번 뒤집은" 것이므로 $f'(x)=-f'(-x)$ 가 성립해야 하고, 따라서 우함수의 도함수는 기함수여야 한다. 기함수는 ( $y$ 축에 대해, 그리고 $x$ 축에 대해) “두 번 뒤집은" 것이므로 $f'(x)=-(-f'(-x))=f'(-x)$ 가 성립해야 한다. 따라서 기함수의 도함수는 우함수여야 한다. 이러한 생각을 아래에서 더 자세히 설명한다.

먼저 $f(x)$ 가 우함수인 경우를 생각하고 $f'(x)$ 를 알아본다.

함수 전체가 $y$ 축에 대해 거울처럼 대칭이다. 따라서 $x$ 와 $-x$ 에서 함수의 “가파른 정도"는 같지만, 한쪽이 증가하면 다른 쪽은 감소한다. 즉, $f'(-x)=-f'(x)$ 이다. (위 그림에서 어떤 점 $a_i$ 에서의 기울기와 그에 대응하는 점 $-a_i$ 에서의 기울기를 비교해 보라.) 따라서 $f(x)$ 가 우함수이면 $f'(x)$ 는 기함수이다.

다음으로 $f(x)$ 가 기함수인 경우를 생각하고 $f'(x)$ 를 알아본다. 아래의 파란색 그래프가 $y=f(x)$ 라 하자. 만약 $f(x)$ 가 우함수라면 $y$ 축의 왼쪽에서 주황색 그래프와 같은 모양일 것이며, 이를 $y=g(x)$ 라 하자.

위에서 살펴본 내용으로부터, 모든 $x>0$ 에 대해 $-f'(x)=g'(-x)$ 임을 안다. $x<0$ 일 때 $f(x)=-g(x)$ 이다. 따라서 $x>0$ 이면 $-f'(x)=g'(-x)=-f'(-x)$ 이다. 다시 말해 $f'(x)=f'(-x)$ 이다. 마찬가지로 $x<0$ 이면 $f'(x)=-g'(x)=f'(-x)$ 이다. 그러므로 $f'(x)$ 는 우함수이다. (아래 그래프에서 $f'(a_i)=f'(-a_i)$ 임을 대략 확인해 볼 수 있다.)

이 문제로 이어서 풀기

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류