정적분의 뜻과 성질 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 항등식 $\int_{-A}^{A}f(x)dx=\int_{-A}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{A}f(x)dx$ 를 이용하여 적분을 계산하세요.

$\int_{-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}}\frac{t}{1+\cos t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the identity ${\int }_{-A}^{A}f(x)dx={\int }_{-A}^{0}f(x)dx+{\int }_{0}^{A}f(x)dx$ to compute the integrals.

${\int }_{-\sqrt{\pi }}^{\sqrt{\pi }}\frac{t}{1+\cos t}dt$

풀이 보기

구간이 $0$ 에 대해 대칭이고 피적분함수가 홀함수이면 적분값은 $0$ 이에요.

1
피적분함수를 $g(t)=\frac{t}{1+\cos t}$ 라 해요. 분모가 $0$ 이 되지 않는지 먼저 봐요. $|t|\le\sqrt\pi<\pi$ 이므로 $\cos t>-1$ 이고, $1+\cos t>0$ 이라 $g$ 는 구간 전체에서 연속이에요.
2
홀함수인지 확인해요. $g(-t)=\frac{-t}{1+\cos(-t)}=\frac{-t}{1+\cos t}=-g(t)$ 이므로 홀함수예요.
3
주어진 항등식으로 나누면 $\int_{-\sqrt\pi}^{\sqrt\pi}g\,dt=\int_{-\sqrt\pi}^{0}g\,dt+\int_{0}^{\sqrt\pi}g\,dt$ 예요. 앞의 적분에서 $t=-u$ 로 바꾸면 $\int_{-\sqrt\pi}^{0}g(t)dt=\int_0^{\sqrt\pi}g(-u)du=-\int_0^{\sqrt\pi}g(u)du$ 예요. 그래서 두 적분이 서로 부호만 다르게 상쇄되어 합은 $0$ 이에요.

답

$0$

자주 하는 실수

홀함수인지 확인하지 않고 $0$ 부터 $\sqrt\pi$ 까지 적분한 값의 두 배로 계산해요. 그건 짝함수일 때만 맞아요.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is odd; the integral is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

# 정적분의 뜻과 성질계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번우리말 풀이

다음 문제에서 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ , $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ , $\int_0^1 x^3\,dx=\frac14$ 임을 이용해 적분을 계산하세요.

$\int_0^1 (1-2x)^3\,dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that ${\int }_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2},{\int }_{0}^{1}{x}^{2}dx=\frac{1}{3},$ and ${\int }_{0}^{1}{x}^{3}dx=\frac{1}{4},$ compute the integrals.

${\int }_{0}^{1}{(1-2x)}^{3}dx$

풀이 보기

식을 전개해서 아는 적분들의 합으로 쪼개요.

1
주어진 값은 $x$ , $x^2$ , $x^3$ 의 적분뿐이에요. 그러니 $(1-2x)^3$ 을 전개해 $x$ 의 거듭제곱 합으로 바꿔요. $(1-2x)^3=1-6x+12x^2-8x^3$
2
정적분은 합과 상수배를 밖으로 뺄 수 있어요. $\int_0^1(1-6x+12x^2-8x^3)\,dx=\int_0^1 1\,dx-6\int_0^1x\,dx+12\int_0^1x^2\,dx-8\int_0^1x^3\,dx$
3
$\int_0^1 1\,dx=1$ 이고 나머지는 주어진 값을 넣어요. $1-6\cdot\frac12+12\cdot\frac13-8\cdot\frac14=1-3+4-2=0$
4
검산해 봐요. 부정적분 $x-3x^2+4x^3-2x^4$ 에 $x=1$ 을 넣으면 $1-3+4-2=0$ 으로 같아요.

답

$0$

자주 하는 실수

$(1-2x)^3$ 을 전개할 때 가운데 항의 계수를 틀리기 쉬워요. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ 을 써요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}(1-6x+12{x}^{2}-8{x}^{3})dx=(x-3{x}^{2}+4{x}^{3}-2{x}^{4})=(1-3+4-2)(0-0+0-0)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 26번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본

3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번우리말 풀이

$f$ 와 $g$ 가 연속함수이고, $[a,b]$ 의 모든 부분 구간 $[c,d]$ 에 대해 $\int_{c}^{d}f(t)dt\le\int_{c}^{d}g(t)dt$ 가 성립한다고 해요. 이때 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose f and g are continuous functions such that ${\int }_{c}^{d}f(t)dt\le {\int }_{c}^{d}g(t)dt$ for every subinterval $[c,d]$ of $[a,b].$ Explain why $f(x)\le g(x)$ for all values of x.

풀이 보기

어떤 점에서 $f>g$ 라고 가정하면, 연속이므로 그 근처 구간 전체에서 $f>g$ 이고 적분도 $f$ 쪽이 커져서 가정과 모순이에요.

1
귀류법을 써요. 어떤 $t_0\in[a,b]$ 에서 $f(t_0)>g(t_0)$ 라고 가정해요.
2
$h=f-g$ 라 하면 $h$ 는 연속이고 $h(t_0)>0$ 이에요. 연속함수는 한 점에서 양수이면 그 점 가까이에서도 양수이므로, $t_0$ 를 포함하는 구간 $[c,d]$ ( $c<d$ )가 있어서 그 위에서 $h(t)>\frac{h(t_0)}{2}>0$ 이에요.
3
그러면 $\int_c^d\big(f(t)-g(t)\big)dt\ge\frac{h(t_0)}{2}(d-c)>0$ 이에요. 즉 $\int_c^df(t)dt>\int_c^dg(t)dt$ 예요.
4
이는 조건 $\int_c^df\le\int_c^dg$ 와 모순이에요. 그러므로 가정이 틀렸고, 모든 $x$ 에서 $f(x)\le g(x)$ 예요.

답

모든 $x\in[a,b]$ 에서 $f(x)\le g(x)$ (귀류법으로 증명)

자주 하는 실수

한 점에서만 $f>g$ 이면 적분에는 영향이 없다고 생각해요. 연속이면 그 점 주변 구간까지 $f>g$ 가 되어 적분이 달라져요.

원본 교재 풀이(영어)

If $f({t}_{0})>g({t}_{0})$ for some ${t}_{0}\in [a,b],$ then since $f-g$ is continuous, there is an interval containing t₀ such that $f(t)>g(t)$ over the interval $[c,d],$ and then ${\int }_{d}^{d}f(t)dt>{\int }_{c}^{d}g(t)dt$ over this interval.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 42번

# 정적분의 뜻과 성질증명·논술도전

4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$[1,3]$ 에서 $\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left({x}_{i}^{*}\right)\Delta x$

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left({x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ over $[1,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 74번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.2절 · 2번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$[0,2]$ 에서 $\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left(5{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{2}-3{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{3}\right)\Delta x$

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}\left(5{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{2}-3{\left({x}_{i}^{*}\right)}^{3}\right)\Delta x$ over $[0,2]$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{2}(5{x}^{2}-3{x}^{3})dx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{2}(5{x}^{2}-3{x}^{3})dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.2절 · 3번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\sin }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ , 구간 $[0,1]$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\sin }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ over $[0,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번우리말 번역

다음 연습문제에서 극한을 적분으로 나타내세요.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\cos }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ , 구간 $[0,1]$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, express the limits as integrals.

$\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n}{\cos }^{2}\left(2\pi {x}_{i}^{*}\right)\Delta x$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1}{\cos }^{2}(2\pi x)dx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}{\cos }^{2}(2\pi x)dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 8번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 5.2절 · 5번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해, $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 알맞은 구간을 밝히세요.

${L}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i-1}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${L}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i-1}{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.3절 · 10번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 5.2절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해, $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 알맞은 구간을 밝히세요.

${L}_{n}=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+2\frac{i-1}{n}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${L}_{n}=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+2\frac{i-1}{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.2절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${R}_{n}=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3+3\frac{i}{n}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(3+3\frac{i}{n}\right)$

정답·풀이 보기

${\int }_{3}^{6}xdx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{3}^{6}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 5.2절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${L}_{n}=\frac{2\pi }{n}\sum_{i=1}^{n}2\pi \frac{i-1}{n}\cos \left(2\pi \frac{i-1}{n}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${L}_{n}=\frac{2\pi }{n}\sum_{i=1}^{n}2\pi \frac{i-1}{n}\cos \left(2\pi \frac{i-1}{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 43번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 5.2절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 L_n 또는 R_n 에 대해 $n\to \infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고, 알맞은 구간을 밝히세요.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{i}{n}\right)\log \left({\left(1+\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(1+\frac{i}{n}\right)\log \left({\left(1+\frac{i}{n}\right)}^{2}\right)$

정답·풀이 보기

${\int }_{1}^{2}x\log ({x}^{2})dx$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{1}^{2}x\log ({x}^{2})dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 12번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이는 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분 값을 구하세요.

x축 위에 놓인 세 원의 위쪽 반원을 나타낸 그래프이다. 첫 번째 반원은 중심이 (1,0)이고 반지름이 1이다. 이 반원은 구간 (0,2)에서 함수 √(2x – x^2)에 해당한다. 두 번째 반원은 중심이 (4,0)이고 반지름이 2이다. 이 반원은 구간 (2,6)에서 함수 √(-12 + 8x – x^2)에 해당한다. 마지막 반원은 중심이 (9,0)이고 반지름이 3이다. 이 반원은 구간 (6,12)에서 함수 √(-72 + 18x – x^2)에 해당한다. 세 반원 모두 곡선 아래쪽이고 x축 위쪽인 영역이 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 1권 · 5.2절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 그래프로 주어진 함수의 정적분을 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하여 구하되, $x$ 축 아래쪽의 넓이는 빼서 계산하세요.

세 개의 이등변삼각형이 그려진 그래프로, 각각 구간 (0,2)에서 함수 1 - |x-1|, 구간 (2,4)에서 함수 2 - |x-4|, 구간 (6,12)에서 함수 3 - |x-9|에 해당한다. 첫 번째 삼각형의 꼭짓점은 (0,0), (2,0), (1,1)이다. 두 번째 삼각형의 꼭짓점은 (2,0), (6,0), (4,2)이다. 마지막 삼각형의 꼭짓점은 (6,0), (12,0), (9,3)이다. 세 삼각형 모두 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph of three isosceles triangles corresponding to the functions 1 - |x-1| over (0,2), 2 - |x-4| over (2,4), and 3 - |x-9| over (6,12). The first triangle has endpoints at (0,0), (2,0), and (1,1). The second triangle has endpoints at (2,0), (6,0), and (4,2). The last has endpoints at (6,0), (12,0), and (9,3). All three are shaded.

정답·풀이 보기

$1+2\cdot 2+3\cdot 3=14$

원본 교재 풀이(영어)

$1+2\cdot 2+3\cdot 3=14$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 64번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 1권 · 5.2절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽 부분의 넓이를 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분을 구하세요.

세 부분으로 이루어진 그래프이다. 첫 번째는 중심이 (1, 0)이고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원으로, 구간 (0,2)에서 함수 √(2x – x^2)에 해당한다. 두 번째는 꼭짓점이 (2, 0), (6, 0), (4, -2)인 삼각형으로, 구간 (2, 6)에서 함수 |x-4| - 2에 해당한다. 마지막은 중심이 (9, 0)이고 반지름이 3인 원의 위쪽 반원으로, 구간 (6,12)에서 함수 √(-72 + 18x – x^2)에 해당한다. 세 부분 모두 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 20번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 1권 · 5.2절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽 부분의 넓이는 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분의 값을 구하세요.

색칠된 삼각형 세 개가 있는 그래프이다. 첫 번째는 꼭짓점이 (0, 0), (2, 0), (1, 1)이며 (0, 2)에서 함수 1 - |x-1|에 해당한다. 두 번째는 꼭짓점이 (2, 0), (6, 0), (4, -2)이며 (2, 6)에서 함수 |x-4| - 2에 해당한다. 세 번째는 꼭짓점이 (6, 0), (12, 0), (9, 3)이며 (6, 12)에서 함수 3 - |x-9|에 해당한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph of three shaded triangles. The first has endpoints at (0, 0), (2, 0), and (1, 1) and corresponds to the function 1 - |x-1| over (0, 2). The second has endpoints at (2, 0), (6, 0), and (4, -2) and corresponds to the function |x-4| - 2 over (2, 6). The third has endpoints at (6, 0), (12, 0), and (9, 3) and corresponds to the function 3 - |x-9| over (6, 12).

정답·풀이 보기

$1-4+9=6$

원본 교재 풀이(영어)

$1-4+9=6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 1권 · 5.2절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이를 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분의 값을 구하세요.

세 부분이 색칠된 그래프이다. 첫 번째는 중심이 (1, 0)이고 반지름이 1인 원의 위쪽 절반이다. 이것은 구간 (0, 2)에서 함수 (2x – x^2)의 제곱근에 해당한다. 두 번째는 중심이 (4, 0)이고 반지름이 2인 원의 아래쪽 절반이며, 구간 (2, 6)에서 함수 (-12 + 8x – x^2)의 제곱근에 음의 부호를 붙인 것에 해당한다. 마지막은 중심이 (9, 0)이고 반지름이 3인 원의 위쪽 절반이다. 이것은 구간 (6, 12)에서 함수 (-72 + 18x – x^2)의 제곱근에 해당한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 54번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류

18.OpenStax 1권 · 5.2절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이는 빼서, 그래프로 나타낸 함수의 적분의 값을 구하세요.

색칠된 부분이 세 개인 그래프이다. 첫 번째는 꼭짓점이 (0, 0), (2, 0), (1, 1)인 삼각형으로, 제1사분면에서 구간 (0, 2)에서의 함수 1 - |x-1|에 해당한다. 두 번째는 중심이 (4, 0)이고 반지름이 2인 원의 아랫반쪽으로, 구간 (2, 6)에서의 함수 –(−12 + 8x – x^2의 제곱근)에 해당한다. 마지막은 꼭짓점이 (6, 0), (12, 0), (9, 3)인 삼각형으로, 구간 (6, 12)에서의 함수 3 - |x-9|에 해당한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

정답·풀이 보기

$1-2\pi +9=10-2\pi$