미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 2번

CLP-2 · 1.3절 · 2번우리말 번역

함수 $f(x) = x^3 -\sin 2x$ 에 대하여, $F(0)=1$ 을 만족시키는 부정적분 $F(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the function $f(x) = x^3 -\sin 2x$ , find its antiderivative $F(x)$ that satisfies $F(0)=1$ .

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먼저 $x^3-\sin(2x)$ 의 부정적분을 구해 보자.

도함수가 $x^3$ 인 함수 하나는 $\dfrac{x^4}{4}$ 이다.
$\sin(2x)$ 의 부정적분을 구하기 위해 먼저 $\cos(2x)$ 를 떠올릴 수 있지만, 확인해 보면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos(2x)\}=-2\sin(2x)$ 이다. 따라서 $-\dfrac{1}{2}$ 을 곱하기만 하면 된다: $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right\}=\sin(2x)$ .

따라서 $f(x)$ 의 부정적분은 $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$ 이다. $F(0)=1$ 을 만족시키려면 다음이 성립해야 한다. (기호 $\iff$ 는 “필요충분조건이다”라고 읽는다. 이는 수학에서 두 명제가 논리적으로 동치임을 나타내는 데 쓰인다. 더 정확히 말하면, 명제 $P \iff Q$ 는 $Q$ 가 참일 때마다 $P$ 가 참이고 $P$ 가 참일 때마다 $Q$ 가 참이라는 뜻이다.)

$\begin{aligned} \Big[\frac{x^4}{4}+\frac{1}{2}\cos 2x+C\Big]_{x=0}=1 \iff \frac{1}{2} + C = 1 \iff C=\frac{1}{2} \end{aligned}$

따라서 $F(x) = \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, let's find a general antiderivative of $x^3-\sin(2x)$ .

One function with derivative $x^3$ is $\dfrac{x^4}{4}$ .
To find an antiderivative of $\sin(2x)$ , we might first guess $\cos(2x)$ ; checking, we see $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos(2x)\}=-2\sin(2x)$ . So, we only need to multiply by $-\dfrac{1}{2}$ : $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right\}=\sin(2x)$ .

So, the general antiderivative of $f(x)$ is $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$ . To satisfy $F(0)=1$ , we need (The symbol $\iff$ is read “if and only if”. This is used in mathematics to express the logical equivalence of two statements. To be more precise, the statement $P \iff Q$ tells us that $P$ is true whenever $Q$ is true and $Q$ is true whenever $P$ is true.)

$\begin{aligned} \Big[\frac{x^4}{4}+\frac{1}{2}\cos 2x+C\Big]_{x=0}=1 \iff \frac{1}{2} + C = 1 \iff C=\frac{1}{2} \end{aligned}$

So $F(x) = \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 51번우리말 번역

$F(x)=\displaystyle\int_0^x x^3 \sin(t)\ \mathrm{d}t$ 라 하자.

(a) $F(3)$ 의 값을 구하세요. (b) $F'(x)$ 는 무엇인지 구하세요.

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(a)

(b)

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(a) $x=3$ 일 때,

$\begin{aligned} F(3)&=\displaystyle\int_0^3 3^3 \sin(t)\ \mathrm{d}t=27\int_0^3 \sin t \ \mathrm{d}t \\ \text{미적분의 기본 정리 제2부를 이용하면,} \\ &=27\left[-\cos t\right]_{t=0}^{t=3} =27\left[-\cos 3 - (-\cos 0)\right]\\ &=27(1-\cos 3 ) \end{aligned}$ (b) 적분이 $t$ 에 대한 것이므로 $x^3$ 항은 적분 밖으로 꺼낼 수 있다. 즉, 적분을 할 때에는 $x^3$ 이 상수이다(미분을 할 때에는 분명히 상수가 아니지만).

$\begin{aligned} F(x)&=\displaystyle\int_0^x x^3 \sin(t)\ \mathrm{d}t = x^3 \int_0^x \sin(t)\ \mathrm{d}t \\ \text{곱의 미분법과 미적분의 기본 정리 제1부를 이용하면,} \\ F'(x)&=x^3\cdot \sin(x) + 3x^2 \int_0^x \sin(t)\ \mathrm{d}t\\ &=x^3\sin(x)+3x^2\left[-\cos(t)\right]_{t=0}^{t=x}\\ &=x^3\sin(x)+3x^2[-\cos(x)-(-\cos(0))]\\ &=x^3\sin (x) + 3x^2[1-\cos (x)] \end{aligned}$

참고: 이 문제에서 $x$ 와 $t$ 는 서로 다른 역할을 하므로 서로 다른 이름을 쓰는 것이 매우 중요하다. 이것이 $\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ 를 뜻하면서 $\int_a^x f(x)\mathrm{d}x$ 라고 쓰는 흔한 실수를 피해야 하는 이유 중 하나이다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류