빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

미적분의 기본정리

부정적분 F로 정적분 F(b)−F(a)를 계산하고, 적분과 미분의 관계를 이해한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

167문제 · 1 / 9쪽

1.OpenStax 1권 · 5.3절 · 1번우리말 번역

변하는 속력 ${v}_{1}(t)$ 와 ${v}_{2}(t)$ 로 달리는 두 선수를 생각합니다. 두 주자는 정확히 같은 시각에 경주를 시작하고 끝냅니다. 두 주자가 어느 한 순간에는 반드시 같은 속력으로 달리고 있어야 하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider two athletes running at variable speeds ${v}_{1}(t)$ and ${v}_{2}(t).$ The runners start and finish a race at exactly the same time. Explain why the two runners must be going the same speed at some point.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 30번

# 미적분의 기본정리활용자동 분류

2.OpenStax 1권 · 5.3절 · 2번우리말 번역

두 등산객이 베이스캠프에서 등반을 시작하여, 하나는 더 가파른 길로, 다른 하나는 덜 가파른 길로 서로 다른 두 경로를 택해 정확히 같은 시각에 정상에 도착합니다. 어느 한 순간에는 두 등산객이 같은 비율로 고도가 증가하고 있었다고 반드시 말할 수 있나요?

영어 원문 보기

Two mountain climbers start their climb at base camp, taking two different routes, one steeper than the other, and arrive at the peak at exactly the same time. Is it necessarily true that, at some point, both climbers increased in altitude at the same rate?

정답·풀이 보기

예. 적분에 대한 평균값 정리로부터 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes. It is implied by the Mean Value Theorem for Integrals.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 3번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

3.OpenStax 1권 · 5.3절 · 3번우리말 번역

어떤 유료 도로에 진입하려면 운전자는 진입 지점의 마일 표시가 적힌 카드를 받아야 한다. 이 카드에는 시각 기록도 찍혀 있다. 출구에서 통행료를 내려고 할 때, 운전자는 통행료와 함께 속도 위반 딱지를 받고 놀란다. 이런 일이 어떻게 일어날 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

To get on a certain toll road a driver has to take a card that lists the mile entrance point. The card also has a timestamp. When going to pay the toll at the exit, the driver is surprised to receive a speeding ticket along with the toll. Explain how this can happen.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 4번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 5.3절 · 4번우리말 번역

$F(x)={\int }_{1}^{x}(1-t)dt$ 라 하자. ${F}^{'}(2)$ 와 $[1,2]$ 에서 ${F}^{'}$ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

Set $F(x)={\int }_{1}^{x}(1-t)dt.$ Find ${F}^{'}(2)$ and the average value of ${F}^{'}$ over $[1,2].$

정답·풀이 보기

${F}^{'}(2)=-1;$ $[1,2]$ 에서 ${F}^{'}$ 의 평균값은 $-1/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${F}^{'}(2)=-1;$ average value of ${F}^{'}$ over $[1,2]$ is $-1/2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 2번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 5.3절 · 5번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{x}{e}^{-{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{x}{e}^{-{t}^{2}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 3번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 5.3절 · 6번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{x}{e}^{\cos t}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{x}{e}^{\cos t}dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

${e}^{\cos x}$

원본 교재 풀이(영어)

${e}^{\cos x}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 4번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 5.3절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{3}^{x}\sqrt{9-{y}^{2}}dy$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{3}^{x}\sqrt{9-{y}^{2}}dy$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 2번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 5.3절 · 8번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{3}^{x}\frac{ds}{\sqrt{16-{s}^{2}}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{3}^{x}\frac{ds}{\sqrt{16-{s}^{2}}}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{16-{x}^{2}}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{\sqrt{16-{x}^{2}}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 9번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 5.3절 · 9번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{x}^{2x}tdt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{x}^{2x}tdt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 50번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.3절 · 10번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\sqrt{x}}tdt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\sqrt{x}}tdt$

정답·풀이 보기

$\sqrt{x}\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{x}\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 60번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 5.3절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\sin x}\sqrt{1-{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\sin x}\sqrt{1-{t}^{2}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 42번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 5.3절 · 12번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{\cos x}^{1}\sqrt{1-{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{\cos x}^{1}\sqrt{1-{t}^{2}}dt$

정답·풀이 보기

$-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}\frac{d}{dx}\cos x=|\sin x|\sin x$

원본 교재 풀이(영어)

$-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}\frac{d}{dx}\cos x=|\sin x|\sin x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 25번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 5.3절 · 13번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{\sqrt{x}}\frac{{t}^{2}}{1+{t}^{4}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{\sqrt{x}}\frac{{t}^{2}}{1+{t}^{4}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 34번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 5.3절 · 15번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\ln x}{e}^{t}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{0}^{\ln x}{e}^{t}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 5.3절 · 16번우리말 번역

다음 문제에서 미적분의 기본정리 제1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{{e}^{x}}\ln {u}^{2}du$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{{e}^{x}}\ln {u}^{2}du$

정답·풀이 보기

$\ln ({e}^{2x})\frac{d}{dx}{e}^{x}=2x{e}^{x}$

원본 교재 풀이(영어)

$\ln ({e}^{2x})\frac{d}{dx}{e}^{x}=2x{e}^{x}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 54번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 5.3절 · 17번우리말 번역

여기에 $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 그래프가 나와 있습니다. 단, f 는 구간별 상수함수입니다.

점 (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3), (6, 2)를 지나는 선분들로 이루어진 함수의 그래프이다. 함수의 그래프 아래쪽과 x축 위쪽 사이의 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간은 어디입니까? 음수인 구간은 어디입니까? 0과 같은 구간이 있다면 어디입니까? b. f 의 최댓값과 최솟값은 각각 얼마입니까? c. f 의 평균값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt,$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

A function with linear segments which goes through the points (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3), and (6, 2). The area under the function and above the x axis is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 49번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 1권 · 5.3절 · 18번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}f(t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 f 는 구간별 상수 함수이다.

선분으로 이루어진 함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), (6, 0)을 지난다. 구간 (0, 1.5)와 (3.25, 6)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (1.5, 3.25)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. f 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. c. f 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}f(t)dt,$ where f is a piecewise constant function, is shown here.

A graph of a function with linear segments that goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), and (6, 0). The area over the function but under the x axis over the interval (0, 1.5) and (3.25, 6) is shaded. The area under the function but over the x axis over the interval (1.5, 3.25) is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

정답·풀이 보기

a. f 는 $(1,2)$ 와 $(5,6)$ 에서 양수이고, $(0,1)$ 과 $(3,4)$ 에서 음수이며, $(2,3)$ 과 $(4,5)$ 에서 0이다. b. 최댓값은 2이고 최솟값은 −3이다. c. 평균값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. f is positive over $(1,2)$ and $(5,6),$ negative over $(0,1)$ and $(3,4),$ and zero over $(2,3)$ and $(4,5).$ b. The maximum value is 2 and the minimum is −3. c. The average value is 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

18.OpenStax 1권 · 5.3절 · 19번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 1.8)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있고, 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에도 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt,$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function which goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4), and (6, 2). The area over the function and under the x axis over (0, 1.8) is shaded, and the area under the function and over the x axis is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 50번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

19.OpenStax 1권 · 5.3절 · 20번우리말 번역

$y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt$ 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 2)와 (4.5, 6)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (2, 2.5)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of $y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt,$ where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function that goes through the points (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), and (6, 2). The area under the function and over the x axis over the intervals (0, 2) and (4.5, 6) is shaded. The area over the function and under the x axis over the interval (2, 2.5) is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

정답·풀이 보기

a. ℓ 은 $(0,1)$ 과 $(3,6)$ 에서 양수이고, $(1,3)$ 에서 음수이다. b. $(0,1)$ 과 $(3,5)$ 에서 증가하고, $(1,3)$ 과 $(5,6)$ 에서 상수이다. c. 평균값은 $\frac{1}{3}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ℓ is positive over $(0,1)$ and $(3,6),$ and negative over $(1,3).$ b. It is increasing over $(0,1)$ and $(3,5),$ and it is constant over $(1,3)$ and $(5,6).$ c. Its average value is $\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 10번

# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류

20.OpenStax 1권 · 5.3절 · 21번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 $N=10$ 개의 직사각형을 이용한 왼쪽 끝점 리만 합과 오른쪽 끝점 리만 합의 평균인 T₁₀ 을 계산하여 곡선 아래의 넓이를 어림하세요. 그런 다음 미적분학의 기본정리 2부를 이용하여 정확한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $[0,4]$ 에서 $y={x}^{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a calculator to estimate the area under the curve by computing T₁₀, the average of the left- and right-endpoint Riemann sums using $N=10$ rectangles. Then, using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2, determine the exact area.

[T] $y={x}^{2}$ over $[0,4]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류