미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 4번

CLP-2 · 1.3절 · 4번우리말 번역

참 또는 거짓: $\dfrac{1}{x^2}$ 의 부정적분은 $\log (x^2)$ 이다 (여기서 $\log x$ 는 밑이 $e$ 인 로그를 뜻한다).

영어 원문 보기

True or false: an antiderivative of $\dfrac{1}{x^2}$ is $\log (x^2)$ (where by $\log x$ we mean logarithm base $e$ ).

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

이런 생각이 들기 쉽다:

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=\log|x|+C \\ \text{ 그러니 아마 비슷하게 } \\ \int \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x&\stackrel{?}{=}\log|x^2|+C=\log(x^2)+C \\ \text{ 미분하여 확인한다:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(x^2)\} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\log x\}=\frac{2}{x} \neq \frac{1}{x^2} \end{aligned}$ 따라서 그렇게 간단하지 않았다: 거짓이다.

부정적분을 추측할 때는 처음의 추측을 조금 고쳐야 하는 경우가 많다. 상수를 바꾸는 것은 잘 통하지만, 함수를 바꾸는 것은 대체로 통하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a tempting thought:

$\begin{aligned} \int \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x&=\log|x|+C \\ \text{ so perhaps similarly } \\ \int \frac{1}{x^2}\ \mathrm{d}x&\stackrel{?}{=}\log|x^2|+C=\log(x^2)+C \\ \text{ We check by differentiating:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\log(x^2)\} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2\log x\}=\frac{2}{x} \neq \frac{1}{x^2} \end{aligned}$ So, it wasn't so easy: false.

When we're guessing antiderivatives, we often need to adjust our original guesses a little. Changing constants works well; changing functions usually does not.

한 번 더 — 비슷한 문제Active Calculus · 4.4절 · 11번우리말 번역

함수 $f$ 가 다음과 같이 구간별로 정의되어 있습니다.

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, \ \text{(}\ 0 \le x < 2\text{ 일 때)}\\ -x + 3, \ \text{(}\ 2 \le x < 3\text{ 일 때)}\\ x^2 - 8x + 15, \ \text{(}\ 3 \le x \le 5\text{ 일 때)}\end{cases}\,.$

(a) 구간 $[2,5]$ 에서 $f$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 영역의 부호 있는 넓이의 합을 정확한 값으로 구하세요. (b) 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 평균값을 정확한 값으로 구하세요. (c) 위의 $f$ 의 정의를 $5 \le x \le 7$ 일 때 $f(x) = g(x)$ 가 되도록 확장했을 때 $\int_0^7 f(x) \, dx = 0$ 이 성립하도록 하는, $5 \le x \le 7$ 에서의 함수 $g$ 의 식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

(a) 구간 $[2,5]$ 에서 $f$ 와 $x$ 축으로 둘러싸인 영역의 부호 있는 넓이의 합은 $\int_2^5 f(x) \, dx$ 이다. 아래 그림은 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 그래프를 나타낸 것이다. 구간 $[2,5]$ 에서 $f$ 의 정적분을 계산하기 위해 부분구간 $[2,3]$ 과 $[3,5]$ 에서의 적분을 생각한다. 이렇게 하고 미적분의 기본정리를 이용하면 $\begin{aligned}\int_2^5 f(x) \, dx &= \int_2^3 f(x) \, dx + \int_3^5 f(x) \, dx \\ &= \int_2^3 -x+3 \, dx + \int_3^5 x^2-8x+15 \, dx \\ &= \left. \left( -\frac{1}{2}x^2 + 3x \right)\right|_2^3 + \left. \left( \frac{1}{3}x^3 - 4x^2 + 15x \right)\right|_3^5 \\ &= \left(\frac{9}{2}-4\right) + \left( \frac{50}{3}-18 \right) \\ &= \frac{127}{6} - 22 = -\frac{5}{6}\end{aligned}\,.$ 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요. (b) 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 평균값을 구하려면 먼저 $\int_0^5 f(x) \, dx$ 를 계산해야 한다. (a)의 결과를 이용하고 부분구간 $[0,2]$ 와 $[2,5]$ 를 생각하면 $\begin{aligned}\int_0^5 f(x) \, dx &= \int_0^2 f(x) \, dx + \int_2^5 f(x) \, dx \\ &= \int_0^2 -x^2 + 2x + 1 \, dx - \frac{5}{6} \\ &= \left. \left( -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right)\right|_0^2 - \frac{5}{6} \\ &= \frac{10}{3} - \frac{5}{6} \\ &= \frac{5}{2}\end{aligned}\,.$ 따라서 구간 $[0,5]$ 에서 $f$ 의 평균값은 $\displaystyle f_{\operatorname{AVG} [0,5]} = \frac{1}{5-0} \int_0^5 f(x) \, dx = \left(\frac{1}{5}\right) \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2}\,.$ (c) $\int_0^5 f(x) \, dx = \frac{5}{2}$ 이므로, $f$ 와 같으면서 $[5,7]$ 에서도 정의되어 $\int_5^7 g(x) \, dx = -\frac{5}{2}$ 를 만족하는 함수 $g$ 가 필요하다. 연속성을 유지하기 위해 $g(5) = 0$ 도 만족하도록 $g$ 의 식을 택한다. 그래프가 둘러싸는 넓이가 $5/2$ 단위가 되는 일차함수를 고르는 것이 자연스러우며, 이는 기울기의 크기가 $5/4$ 인 함수이다. 확인을 위해 계산하면 $\begin{aligned}\int_5^7 -\frac{5}{4}(x - 5) \, dx &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left. \left(\frac{x^2}{2} - 5x\right) \right|_5^7 \\ &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left( \frac{49-25}{2} - 5(7-5) \right) \\ &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left( 12 - 10 \right) \\ &= -\left(\frac{5}{4}\right) \left( 2 \right) = -\frac{5}{2}\end{aligned}\,.$ 따라서 $0 \le x < 5$ 에서 $g(x) = f(x)$ 이고 $5 \le x \le 7$ 에서 $g(x) = -\frac{5}{4}(x - 5)$ 로 정의한 $g$ 는 원하는 성질을 가진다. $g$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 이 이미지에 대체 텍스트를 추가하세요.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리개념 확인기본자동 분류