미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 24번

CLP-2 · 1.3절 · 24번우리말 번역

$\displaystyle\int \tan^2 x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \tan^2 x \ \mathrm{d}x$ .

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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$\int \sec^2 x\ \mathrm{d}x = \tan x +C$ 이고 $\sec^2x = \tan^2 x + 1$ 이므로

$\begin{aligned} \int \tan^2 x\ \mathrm{d}x &= \int \sec^2x - 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\int \sec^2 x \ \mathrm{d}x - \int 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\tan x - x + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We know that $\int \sec^2 x\ \mathrm{d}x = \tan x +C$ , and $\sec^2x = \tan^2 x + 1$ , so

$\begin{aligned} \int \tan^2 x\ \mathrm{d}x &= \int \sec^2x - 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\int \sec^2 x \ \mathrm{d}x - \int 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\tan x - x + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 23번우리말 번역

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

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부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

다 풀었으면 정답 확인

피적분함수는 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 와 비슷하다. 부정적분을 추측하기 위해 분모에서 $\sqrt{2}$ 를 묶어 내자:

$\begin{aligned} \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&= \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)}}\mathrm{d}x\\ &=\displaystyle\int \dfrac{1}{ \sqrt{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}\mathrm{d}x\\ &= \int\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{ \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)^2}}\mathrm{d}x\\ \\ \text{이 시점에서 부정적분이 $F(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 와 같은 꼴일 것이라고 추측할 수 있다. 이 가능성을 확인하기 위해 미분하여 무엇을 얻는지 보자.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^2}} \\ \text{이것은 우리가 원하는 바로 그 식이다! 따라서} \\ \int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)+C \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류