미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 26번

CLP-2 · 1.3절 · 26번우리말 번역

$\displaystyle\int \cos^2 x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \cos^2 x \ \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

어떤 함수의 도함수가 $\cos^2 x$ 인지는 바로 알기 어렵지만, 항등식 $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ 를 이용하면 상황을 조금 더 분명하게 할 수 있다:

$\begin{aligned} \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos(2x)\right)\ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{1}{2}\ \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x + C+ \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{나머지 적분에 대해서는 $F(x) = \sin(2x)$ 와 같은 꼴을 짐작해 볼 수 있다. 알맞은 상수를 찾아보자:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sin(2x) \right\}&=2\cos(2x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{4}\sin(2x) \right\}&=\frac{1}{2}\cos(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x &=\frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \text{그러므로,}\qquad \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

It's not immediately obvious which function has $\cos^2 x$ as its derivative, but we can make the situation a little clearer by using the identity $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ :

$\begin{aligned} \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos(2x)\right)\ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{1}{2}\ \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x + C+ \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{For the remaining integral, we might guess something like $F(x) = \sin(2x)$. Let's figure out the appropriate constant:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sin(2x) \right\}&=2\cos(2x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{4}\sin(2x) \right\}&=\frac{1}{2}\cos(2x)\\ \text{So,}\qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x &=\frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \text{Therefore,}\qquad \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

풀이 1: 이 식은 언뜻 익숙한 함수의 도함수처럼 보이지는 않지만, 익숙한 삼각함수 항등식의 절반처럼 보인다. $2\sin x \cos x = \sin(2x)$ .

$\begin{aligned} \int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{3}{2}\cdot 2\sin x \cos x \ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{3}{2} \sin(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{따라서 부정적분이 $-\cos(2x)$ 와 비슷한 꼴일 것이라고 짐작할 수 있다. 상수만 정하면 된다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-\cos(2x)\}&=2\sin(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\frac{3}{4}\cos(2x)\right\}&=\frac{3}{2}\sin(2x)\\ \text{그러므로,}\qquad \int 3\sin x \cos x\ \mathrm{d}x&=-\frac{3}{4}\cos(2x)+C \end{aligned}$

풀이 2: $\cos x$ 가 $\sin x$ 의 도함수이므로, 피적분함수가 연쇄 법칙에서 나온 식처럼 보인다는 점을 알아챌 수 있다. 이를 이용하여 부정적분을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin^2 x\right\}&=2\sin x \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{3}{2}\sin^2 x\right\}&=3\sin x \cos x\\ \text{따라서,}\qquad \int 3\sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\frac{3}{2}\sin^2 x+C \end{aligned}$

이 두 답은 서로 다르게 보인다. 항등식 $\cos(2x)=1 - 2 \sin^2(x)$ 을 이용하면 두 답이 같음을 알 수 있다.

$\begin{aligned} -\frac{3}{4}\cos(2x)+C&= -\frac{3}{4}\left(1-2\sin^2x\right)+C\\ &=\frac{3}{2}\sin^2 x + \left(C-\frac{3}{4}\right) \end{aligned}$

여기서 $\frac{3}{4}$ 은 중요하지 않다. $C$ 는 $-\infty$ 와 $+\infty$ 사이의 어떤 값이든 가질 수 있는 상수를 나타낸다는 것을 기억하자. 따라서 $C-\frac{3}{4}$ 도 $-\infty$ 와 $+\infty$ 사이의 어떤 값이든 가질 수 있는 상수일 뿐이다. 우리가 구한 두 답은 상수만큼 차이가 나므로 서로 같다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류