미적분의 기본정리 연습문제 — CLP-2 · 1.3절 · 35번

CLP-2 · 1.3절 · 35번우리말 번역

$f$ 가 연속함수이고 $x \sin(\pi x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 일 때, $f(4)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If $x \sin(\pi x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ where $f$ is a continuous function, find $f(4)$ .

정답·풀이 보기

$x \sin(\pi x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용한다. 그러면 미적분의 기본정리 제1부에 의해

$\begin{aligned} &&f(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} \\ \implies&& f(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} =\sin(\pi x)+\pi x\cos(\pi x) \\ \implies&& f(4)&= \sin(4\pi)+4\pi\cos(4\pi)=4\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Apply $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ to both sides of $x \sin(\pi x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ . Then, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 1,

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.3절 · 28번우리말 번역

$f(x)=\displaystyle\int_1^x 100(t^2-3t+2)e^{-t^2}\ \mathrm{d}t$ 라고 하자. $f$ 가 증가하는 구간을 모두 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

미적분의 기본정리 제1부분에 의해,

$f'(x) = 100(x^2-3x+2)e^{-x^2} = 100(x-1)(x-2)e^{-x^2}$

$f'(x)>0$ 일 때마다 $f(x)$ 는 증가하고 $100 e^{-x^2}$ 은 항상 $0$ 보다 엄밀하게 크므로, $f(x)$ 가 증가하는 것은 $(x-1)(x-2)>0$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. 이는 $(x-1)$ 과 $(x-2)$ 의 부호가 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다. $x>2$ 이면 둘 다 양수이고 $x<1$ 이면 둘 다 음수이다. 따라서 $f(x)$ 는 $-\infty<x<1$ 일 때와 $2<x<\infty$ 일 때 증가한다.

참고: 미적분의 기본정리를 쓰지 않아도, $f(x)$ 는 1부터 $x$ 까지 곡선 아래의 넓이이므로, 곡선이 $x$ 축 위에 있을 때는 (양의 넓이를 더하므로) $f(x)$ 가 증가하고, 곡선이 $x$ 축 아래에 있을 때는 (음의 넓이를 더하므로) 감소한다.

이 문제로 이어서 풀기

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류