치환적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.4절 · 7번

CLP-2 · 1.4절 · 7번우리말 번역

치환을 이용하여 $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Use substitution to evaluate $\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$u(x) = e^{x^2}$ 이라 하면 $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x=2x e^{x^2}\mathrm{d}x$ 이다. $x=1$ 일 때 $u(1)=e^{1^2}=e$ 이고, $x=0$ 일 때 $u(0)=e^{0^2}=1$ 임에 주의한다. 따라서 다음과 같다.

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos ( e^{x^2}) \, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\int_{x=0}^{x=1} \cos ( u(x)) u'(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int_{u=1}^{u=e} \cos({red}u)\,\mathrm{d}u\\ &= \frac{1}{2}\bigg[\sin(u) \bigg]_1^e = \frac{1}{2}\big( \sin(e) - \sin(1) \big). \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We write $u(x) = e^{x^2}$ and find $\mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x=2x e^{x^2}\mathrm{d}x$ . Note that $u(1)=e^{1^2}=e$ when $x=1$ , and $u(0)=e^{0^2}=1$ when $x=0$ . Therefore:

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 4번우리말 번역

다음 추론이 타당한지 판단하세요. 타당하지 않다면 고치세요.

문제: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 먼저 치환 $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u \\ \text{이제 치환 $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$ 를 사용한다:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v\\ &=-\frac{1}{2}\left[\log|v|\right]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right) \end{aligned}$

다 풀었으면 정답 확인

더 짧은 방법이 있을 수도 있지만, 여기서의 추론은 타당하다.

문제: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

풀이: 먼저 치환 $u=x^2$ , $\mathrm{d}u = 2x\mathrm{d}x$ 를 사용한다:

$u=x^2$ 이면 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = 2x$ 이므로 실제로 $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ 이다.

$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \ \mathrm{d}x&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x&\text{식 정리}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\ \mathrm{d}u \\ \text{\text{피적분함수, 미분소, 적분 구간의 모든 부분이 $x$ 에서 $u$ 로 바뀌었다.}} \\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\mathrm{d}u & \tan u = \frac{\sin u}{\cos u}\\ \\ \text{이제 치환 $v=\cos u$, $\mathrm{d}v=-\sin u \ \mathrm{d}u$ 를 사용한다:} \\ &=\frac{1}{2}\int_{\cos 0}^{\cos(\pi^2/16)} -\dfrac{1}{v}\mathrm{d}v \\ \text{\text{피적분함수, 미분, 적분 구간의 모든 부분이 $u$ 에서 $v$ 로 바뀌었다.}} \\ &=-\frac{1}{2}\int_{1}^{\cos(\pi^2/16)} \dfrac{1}{v}\mathrm{d}v& \cos(0)=1\\ &=-\frac{1}{2}\bigg[\log|v|\bigg]_{1}^{\cos(\pi^2/16)}&\text{미적분의 기본 정리 2부}\\ &=-\frac{1}{2}\left(\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)-\log(1)\right)\\ &=-\frac{1}{2}\log\left(\cos(\pi^2/16)\right)& \log(1)=0 \end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

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