치환적분법 연습문제 — CLP-2 · 1.4절 · 11번

CLP-2 · 1.4절 · 11번우리말 번역

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

$u=1+\sin x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ 이므로

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{ \cos x} { 1+\sin x} \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{1}{ 1+\sin x}\, \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=2} \frac{ \mathrm{d}u}{{red}u}$

이다. 이는 $x=0$ 일 때 $u=1+\sin 0=1$ 이고 $x=\pi/2$ 일 때 $u=1+\sin(\pi/2)=2$ 이기 때문이다. 그러면 미적분의 기본정리 제2부에 의해

$\int_{u=1}^{u=2} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \Big[\log|u| \Big]_{1}^{2} = \log 2$

원본 교재 풀이(영어)

Setting $u=1+\sin x$ , we have $\mathrm{d}u = \cos x~\mathrm{d}x$ and so

$\int_{0}^{\pi/2} \frac{ \cos x} { 1+\sin x} \mathrm{d}x = \int_{x=0}^{x=\pi/2} \frac{1}{ 1+\sin x}\, \cos x ~\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=2} \frac{ \mathrm{d}u}{{red}u}$

since $u=1+\sin 0=1$ when $x=0$ and $u=1+\sin(\pi/2)=2$ when $x=\pi/2$ . Then, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 2,

$\int_{u=1}^{u=2} \frac{\mathrm{d}u}{u} = \Big[\log|u| \Big]_{1}^{2} = \log 2$

한 번 더 — 비슷한 문제CLP-2 · 1.4절 · 10번우리말 번역

$\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\mathrm{d}x}{x\log x}$ 의 값을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

$u=\log x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ 이므로

$\int_{e}^{e^4} \frac{ \mathrm{d}x}{{blue}x\cdot \log x} = \int_{x=e}^{x=e^4} \frac1{ \log x} \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \int_{u=1}^{u=4} \frac{1}{{red}u}\, \mathrm{d}u,$

이다. 이는 $x=e$ 일 때 $u=\log(e)=1$ 이고 $x=e^4$ 일 때 $u=\log(e^4)=4$ 이기 때문이다. 그러면 미적분의 기본정리 제2부에 의해

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = \Big[\log |u| \Big]_{1}^{4} = \log 4 - \log 1 = \log 4.$

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